дифференциальные уравнения

[compaurum]

Alexey1 в сообщении #345775 писал(а):

compaurum в сообщении #345772 писал(а):

$\frac yx}=\ln^2 {\frac Cx} \Leftrightarrow y=\ln^2 \left({\frac Cx} \right)^x$$
это ответ, да?

Тоже неправильно. Посмотрите свойства логарифмов.

чего-то я невнимательный сегодня
$\frac yx}=\ln^2 {\frac Cx} \Leftrightarrow y=\frac {\ln^2 \left({\frac Cx} \right)^x}x$$
или просто $y=x\ln^2 {\frac Cx}$

[Alexey1]

compaurum в сообщении #345780 писал(а):

чего-то я невнимательный сегодня
$\frac yx}=\ln^2 {\frac Cx} \Leftrightarrow y=\frac {\ln^2 \left({\frac Cx} \right)^x}x$$
или просто $y=x\ln^2 {\frac Cx}$

Правильно когда просто, так как $a\ln^2x=a\ln x \cdot \ln x$.

[GAA]

compaurum в сообщении #345753 писал(а):

$$\ldots \left( 2 \sqrt{x^2u}-xu\right)dx+x(udx+xdu)=0 \Leftrightarrow 2x \sqrt u dx-xudx+xudx+x^2du=0 \ldots$$

скажите до сюда правильно, чтоб я дальше зря не решал?

Нет. Выкладки верны только при $x > 0$.

[compaurum]

GAA в сообщении #345809 писал(а):

Нет. Выкладки верны только при $x > 0$.

Почему? если из-за $\sqrt{xy}$, то может же быть $x<0;y<0$?
Странно что во втором задании по теме уже столько много условий. и как тогда решать? рассмотреть второй случай и к $x$ и $y$ добавлять минусы?

[GAA]

Да, может быть $x <0$ и $y < 0$, и этот случай можно рассмотреть отдельно. Учтите, что $\sqrt{x^2} = |x|$. Приведите свои выкладки.

[compaurum]

то есть $dy=udx+xdu$?
при $x<0,y<0$:

$\left( 2 \sqrt{xy}-y\right)dx+xdy=0 \Leftrightarrow \left( 2 \sqrt{x^2u}+xu\right)dx-x(udx-xdu)=0 \Leftrightarrow $ $\Leftrightarrow 2|x| \sqrt u dx+xudx-xudx+x^2du=0 \Leftrightarrow -2 \sqrt u dx=-xdu \Leftrightarrow \frac {du}{2\sqrt u}=\frac {dx}{x}.$

$$\int \frac {du}{2\sqrt u}=\int \frac {dx}x \Leftrightarrow \sqrt u = \ln x + \ln C \Leftrightarrow \sqrt u = \ln Cx \Leftrightarrow y=x \ln^2 Cx$$

//Разбил длинную формулу на две. / GAA

[GAA]

compaurum в сообщении #346238 писал(а):

то есть $dy=udx+xdu$?

Да.

compaurum в сообщении #346238 писал(а):

$$\int \frac {du}{2\sqrt u}=\int \frac {dx}x \Leftrightarrow \sqrt u = \ln x + \ln C$$

Неправильно. Напомню, $x < 0$.

[compaurum]

Неправильно при добытии интеграла? Я же вроде учел минус раньше. Его еще раз нужно добавить?

[GAA]

Вспомните область определения логарифма, вспомните таблицу интегралов.

[compaurum]

Тогда:

$$\int \frac {du}{2\sqrt u}=\int \frac {dx}{-x} \Leftrightarrow \sqrt u = \ln C-\ln x$$

с условием что $x > 0$?
тогда получиться то же самое.

[GAA]

compaurum в сообщении #346335 писал(а):

Тогда:

$$\int \frac {du}{2\sqrt u}=\int \frac {dx}{-x}$$

Неправильно, минуса не было, и он просто так возникнуть не может.

Напомню, как при $x > 0$, так и при $x < 0$, имеем $\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C$, где $C$ — произвольное вещественное.

[compaurum]

тогда $y=x\ln^2 \left(C|x| \right)$?

[GAA]

Почти. Остается указать, какими могут быть $C$ (ясно, что не произвольными вещественными) и учесть, что при возведении в квадрат могли появиться «лишние корни» — отсечение «лишних корней» приведет к ограничению на $x$ при заданном $C$.

(Кстати, при формулировке условия второй задачи Вы позабыли указать, что требуется найти: общее решение, либо общий интеграл. Вы искали общее решение; под Вас я и подстраивался.)

[compaurum]

общий интеграл нужно найти для уравнений, которые еще будут в этой теме

[compaurum]

$(3x^3+6x^2y+3xy^2)dx+(2x^3+3x^2y)dy=0$
это однородное уравнение?я решал его как однородное, дошел до такого:
$3xudu+2xdu+6u^2dx+8udx+3dx=0$
не пойму дальше