дифференциальные уравнения

[compaurum]

нужно найти решение(общий интеграл) дифференциального уравнения. $(y^2+3)dx- \frac {e^x}x y dy=0$
мой вариант:

$$\frac x{e^x}dx-\frac y {y^2+3}dy=0 \leftrightarrow-e^{-x}(x+1)- \frac{\ln \left(y^2+3 \right)}2}=C$$

Первый раз решаю такие уравнения - правильно,нет?

[Алексей К.]

Похоже, правильно. Замечу также, что ответ

$$2e^{-x}(x+1)+ \ln \left(y^2+3 \right)=C$$

тоже верный. Надеюсь, Вас это не удивляет.

[mihailm]

если для себя решать то сойдет, если для препода то где-то на грани,
оформлять надо как уравнения с разделяющимися переменными, в инете полно примеров

[compaurum]

спасибо. у меня еще парочку есть, которые я пытался решать:
$\left( 2 \sqrt{xy}-y\right)dx+xdy=0$
Я думал раскрыть скобки и поделить на $xy$, но как быть тогда с $2 \sqrt{xy}dx$?

[mihailm]

однородное уравнение

[compaurum]

однородные уравнения вроде решаються заменой$y=xu;y'=(u+xu')$

$$\left( 2 \sqrt{xy}-y\right)dx+xdy=0 \leftrightarrow \left( 2 \sqrt{x^2u}-xu\right)dx+x(u+xu')=0 \leftrightarrow \left( 2 \sqrt{u}-u\right)dx+u+x \frac{du}{dx}=0$$

а как тут дальше?

[Алексей К.]

Дальше надо вернуться взад и переписать вышенаписанное со всею внимательностию.
Как Вам фразочка

$$1+dx=y\:?$$

Несуразность её бросается в глаза, или не очень? Вот и Ваше

compaurum в сообщении #345388 писал(а):

$$ \left( 2 \sqrt{u}-u\right)dx+u+\ldots=0$$

никак не катит.

[compaurum]

честно говоря это мне никак не помогло. Можете посоветовать учебник какой-то с примерами доступными, что ли? у меня всего лишь одни простой пример как решать. Я не сильно разобрался..

[Alexey1]

Напишите всё аккуратнее, с учётом того, что $y'=u+xu' \Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$.

[compaurum]

Alexey1 в сообщении #345746 писал(а):

Напишите всё аккуратнее, с учётом того, что $y'=u+xu' \Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$.

то есть $dy=udx+xdu$?

$$\left( 2 \sqrt{xy}-y\right)dx+xdy=0 \Leftrightarrow \left( 2 \sqrt{x^2u}-xu\right)dx+x(udx+xdu)=0 \Leftrightarrow 2x \sqrt u dx-xudx+xudx+x^2du=0 \Leftrightarrow 2 \sqrt u dx=-xdu \Leftrightarrow \frac {du}{2\sqrt u}=- \frac {dx}{x}$$ $$\int \frac {du}{2\sqrt u}=\int - \frac {dx}x \Leftrightarrow \sqrt u = -\ln x + C $$

скажите до сюда правильно, чтоб я дальше зря не решал?

[Alexey1]

Правильно, только необходимо указать $x\neq0$ когда на $x$ делите и добавить константу интегрирования.

[compaurum]

Да, спасибо. забыл.
$u= \frac yx$
в учебнике подставляли не $C$, а например$\ln C$

$$\sqrt u = -\ln x + \ln C \Leftrightarrow \sqrt{\frac yx}=\ln {\frac Cx \Leftrightarrow {\frac yx}=\ln^2 {\frac Cx} \Leftrightarrow y=\ln^2 \frac{C^x}x$$

[Alexey1]

compaurum в сообщении #345759 писал(а):

$\frac yx}=\ln^2 {\frac Cx} \Leftrightarrow y=\ln^2 \frac{C^x}x$$

Это не правильно.

[compaurum]

$\frac yx}=\ln^2 {\frac Cx} \Leftrightarrow y=\ln^2 \left({\frac Cx} \right)^x$$
это ответ, да?

[Alexey1]

compaurum в сообщении #345772 писал(а):

$\frac yx}=\ln^2 {\frac Cx} \Leftrightarrow y=\ln^2 \left({\frac Cx} \right)^x$$
это ответ, да?

Тоже неправильно. Посмотрите свойства логарифмов.