Индексы Ласпейреса и Пааше

[Mikhail Sokolov]

Пусть $f,g:R_+^{2n} \to R_+^n$ - вектор функции, $p \cdot x = \sum\limits_{i=1}^n p_ix_i$.
Докажите, что если тождество
$\frac {p' \cdot f(x,x')} {p \cdot f(x,x')} \frac {g(p,p') \cdot x'} {g(p,p') \cdot x} = \frac {p' \cdot x'} {p \cdot x}$
выполняется для всех $p,p',x,x'$ из $R_+^n$, то либо $f(x,x')$ пропорциональна $x$ и $g(p,p')$ пропорциональна $p'$, либо $f(x,x')$ пропорциональна $x'$, $g(p,p')$ пропорциональна $p$.

P.S. Я кое как доказал, но муторно и некрасиво. Есть подозрение, что этот результат как-то просто следует из строгой выпуклости (вогнутости) неких функций.