Какая из двух формул истинная?

[strrrts]

$$1) \int(a+x)^n dx=\frac{(a+x)^{n+1}}{n+1} +C (n\not=-1).$$ При заданном $a$ и определенном $x$ имеет БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО значений;



$$2)\int(a+x)^n dx=\int\limits_{a}^{a+x}t^n dt=\left|_{(n=-1) ln\frac{a+x}{a}}^{(n\not=-1)\frac{(a+x)^{n+1}}{n+1} - \frac{a^{n+1}}{n+1}}.$$ При заданном $a$ и определенном $x$ имеет ОДНО-ЕДИНСТВЕННОЕ значение;


$ C \not= - \frac{a^{n+1}}{n+1},$т.к.$ C =const. \not=f(a)$. Один из вариантов - применение формулы интегрирования по частям!
Первая формула из устаревшего "математического анализа", вторая из революционного "структурного анализа".
С.В. МИШИН.

[Виктор Викторов]

А Вы не могли бы поработать сами? Например, взять производную от правой части первой формулы.
Во второй формуле при $n=-1$ вспомнить об абсолютной величине. Посмотреть, что произойдет при $a=0$.

(Оффтоп)

Есть ли у Вас полное название книги Мишина?

[strrrts]

ТовариЩгосподинхорошийВикторов, ВЫ по-русски ферштейн? Я задал вопрос, а Вы в ответ задаете заеадку!

[Виктор Викторов]

There is no "халява" here.

Перевод: здесь нет халявы.

[strrrts]

в смысле, она временно куда-то отлучилась?

-- Ср авг 18, 2010 03:03:57 --

А, теперь понял, причем здесь халява. Приношу свои извинения, но я вписал тему в ДИСКУССИОННЫЕ, но, очевидно, здесь сидят и модерируют некие СВЕРХЧЕЛОВЕКИ со сверхчеловеческим интеллектом...

[Виктор Викторов]

Если Вы спрашиваете об интеграле, то Вы должны уметь дифференцировать. Если Вы учились в школе, то скорее всего Вы сможете подставить ноль вместо $a$.

[strrrts]

Большое спасибо за советы, разрешите нам с Вами откланяться?...

[PAV]

strrrts
Вы явно не утруждали себя чтением правил форума, на который обратились. Во-первых, КАПСЛОКИНГ в заголовке запрещен. Во-вторых, здесь не очень любят общаться с теми, кто считает, будто сами могут ничего не делать, а окружающие им что-то должны. Рекомендуемая форма оказания помощи на этом форуме - не готовые ответы, а подсказки и наводящие вопросы, дающие возможность автору вопроса в чем-то разобраться самостоятельно

В правилах также не зря просят приводить определения основных понятий, фигурирующих в вопросе. В данном случае это, видимо, ключевой момент. Ибо общеизвестно, что первообразная (вопрос ведь о первообразной) в стандартном смысле определена с точностью до произвольной аддитивной константы. Возможно, в "революционной" версии тов. Мишин использует какое-то свое "революционное" определение этого понятия, либо же какие-то свои "революционные" обозначения, в которых неопределенный интеграл обозначает не первообразную, а что-то другое, но об этом никому не известно.

[gris]

strrrts, это просто разные определения и разные математические объекты. Конструктивисты недовольны определением неопределённого интеграла как множества или семейства всех первообразных, поскольку оно таит в себе различные нехорошие вещи, подрывает некоторые основы.
Неопределённое интегрирование давно обособилось в инструмент нахождения первообразных и в обычном матанализе никто (осторожно добавлю - в учебных курсах) не копается в строгом обосновании понятия неопределённого интеграла. Семейство так семейство, главное, чтобы работало.

Некоторые же под неопределённым интегралом понимают функцию двух переменных - пределов интегрирования в $F(x;y)=\int\limits_y^xf(t)\,dt;\,x,y \in [A;B]$, и даже фиксируют нижний предел, принимая его равным некоторому значению из области определения функции. Отсюда следует, кстати, что подставлять значение $a=0$ в Вашем втором случае $(n=-1)$ просто нельзя.

Переопределять уже устоявшееся понятие не совсем корректно, но раз уж сделано, так сделано. Надо только понимать, что это разные понятия.

[strrrts]

1. Я заявил старттопик в "Дискуссионных темах". В помощи я не нуждаюсь.
2. В данном случае разногласий в определениях нет. Есть попытка показать, что, дифференцирование и интегрирование "не всегда" действия со взаимообратными результатами, что бездоказательно принято в матанализе, вследствие чего появилась константа, которой нет в природе (т.к. формула с этой константой при применении к одному из разделов физики будет иметь вид формулы вечного двигателя).
Например:
$$\frac{dx^2}{dx}=2x$; $\frac{d(x^2+C)}{dx}=2x$;$\frac{d(x^2+\pi r^2)}{dx}=2x$$.
Но

$$x^2=\int_{0}^{x}2tdt=\int2xdx$$

$$ x^2+C=\int_{0}^{\sqrt{x^2+C}}2tdt$$

$$ x^2+\pi r^2=\int_{0}^{\sqrt{x^2+\pi r^2}}2tdt$$

3. При $a=0$ формула примет вид

$$\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}=\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{x}=ln \frac{x_2}{x_1}$$

Но это из немного другой области. Вопрос не в случае, когда $n=-1$, а когда $n \not=-1$. ПОЭТОМУ Я ПРЕДЛАГАЮ ОСТАНОВИТЬСЯ НА ЭТОМ СЛУЧАЕ.
Я показываю, что формула матанализа при конкретном вычислении ПРИВОДИТ к ошибочному результату, отличающемуся от реального на величину $\frac{a^{n+1}}{n+1}$, причем искусственно подогнать результат с помощью, изобретенной от непонимания сути вещей (см. п.2), константой не удастся, т.к. тогда константа становится функцией $a$, а производная функции такого вида не равна нулю.

[ИСН]

Триста лет как-то интегрировали, тут приходят, здрасте - всё было неправильно.

[terminator-II]

strrrts в сообщении #345214 писал(а):

В помощи я не нуждаюсь.

Вы, любезнейший, не в помощи нуждаетесь, а в систематическом обучении. Здесь знаете ли много всяких невежд с апломбом вроде вас бегает, мы этого уже навидались. Вы просто очередной неуч, со сверхценными идеями. Вы скучны и никому не интересны.

[gris]

Как это при $a=0$ формула примет указанный Вами вид? Если подставить $a=0$ в $\int(a+x)^n dx=\int\limits_{a}^{a+x}t^n dt$, то откуда в нижнем пределе возьмётся единичка?

[strrrts]

To terminator II: Как всегда биомасса тупа, самоуверенна и неконкретна.

-- Ср авг 18, 2010 18:41:25 --

To gris: Ну, попросил же. Пока про $n\not=-1$. Всему свое время...

[GAA]

Из правил форума: «1. Начальные сообщения любой темы должны четко и внятно формулировать предмет или вопрос, который предполагается обсудить. В противном случае тема будет закрыта или перемещена в карантин до уточнения предмета» и «3.1 Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны».

Тема перемещена из «Помогите решить / разобраться (М)» в «Пургаторий (М)».(В случае создания темы, логически продолжающую данную, она будет удалена, а Вы заблокированы.)

Предупреждение: оскорбления в адрес участников дискуссии является нарушением правил форума, см п. I.1.е правил форума.

25.08.10, в связи с созданием темы, которая логически продолжает данную, и злостный флуд, новые сообщения strrrts в разделе "Дт (М)" объединены в одну тему и удалены, участник блокирован.