Тригонометрическое уравнение

[Unknown_F]

Уравнение $(\ctg x-\tg x)/(3\sin x+\cos 2x)=\ctg 2x$
и ответ $x=\pi/4+\pi n/2$, $x=(-1)^n\pi/6+\pi n$
У меня получается $\ctg^2x=1$, $x=±\pi/4+\pi n$, что, собственно, совпадает с первым вариантом; а также ответ $|\sin x|=1/2$. Но сравнивая мой ответ с данным, я нахожу, что у меня не наложено ограничение $\sin x>0$. Откуда его взять? Или дело не в этом?

[Toucan]

Unknown_F,
тригонометрические функции пишем так:
$(\ctg x-\tg x)/(3\sin x+\cos 2x)$:

$(\ctg x-\tg x)/(3\sin x+\cos 2x)$

$\pi$ так:

$\pi/4+\pi n/2$

[ewert]

Unknown_F в сообщении #344498 писал(а):

; а также ответ $|\sin x|=1/2$.

Откуда модуль-то? Там или плюс одна вторая, или единица (что нехорошо).

[gris]

Не знаю, как Вы решали, но я вижу, что первая скобка преобразуется очень удобно. Я не о правильности, а об эффективности. Зачем квадрат котангенса?

[Unknown_F]

Спасибо, Toucan. Я просто обычно $\pi$ на греческом пишу, но тут не берёт.
gris
я разложила правую часть, а после преобразования дробей сократила на $(\ctg x-1)$. После возведения в квадрат получила биквадратное уравнение относительно котангенса, а потом нашла квадрат синуса. Эффективность? Увы, это единственное, что пришло мне в голову
ewert
Квадрат синуса равен 1/4, отсюда и модуль.

[gris]

Решив уравнение, призадумайтесь - возможно его можно было не решать решить проще. (Козьма Прутков)

$\ctg x - \tg x=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac {\cos^2x-\sin^2x}{\sin x \cos x}=...$
Приводим к двойному углу, так как он есть в правой части.
А вот возведение в квадрат может дать посторонние корни.
Например: $x=1$ - один корень.
$x^2=1$ - два корня.
Возведение в квадрат равносильно, если обе части уравнения неотрицательны. Это сразу становится дополнительным условием.
Но в Вашем случае можно и без возведения в квадрат.

[Unknown_F]

Теперь всё стало на свои места. При выборе своего относительно длинного пути я бессознательно взяла положительный синус, когда выражала его через котангенс, хоть и не сразу это заметила.
Спасибо, gris. Возьму заметку на будущее.