Придумал несколько задач, не могу решить

[Null]

1. Есть линейно упорядоченное множество $M$ без наибольшего и наименьшего элементов. Верно ли что в нем есть неограниченное счетное подмножество $V$ $(\forall x \in M \exists y,z \in V |y<x<z)$
2. Найти аддитивную меру $\mu :2^{\mathbb N} \to [0;1]$
такую что:
a)$\forall A,B \subseteq{\mathbb N}, A\cap B=\emptyset :\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$
b)$\mu({\mathbb N})=1$
c)$\forall x \in {\mathbb N}:\mu(\{x\})=0$
Из леммы Цорна можно вывести её существование, это будет верно для любого бесконечного множества не только ${\mathbb N}$. Можно ли построить её конструктивно?
3.Фиксируем $n>2,k\in {\mathbb N}$.Доказать что существует простой граф $G$-неориентированный, без петель и кратных ребер, в котором любой простой цикл имеет длинну не меньше $n$ и хроматическое число которого не меньше $k$. Можно ли оценить количество вершин в минимальном таком графе?
4. Рассмотрим цепные дроби $[a_0;a_1,a_2,\ldots]$ c $a_k \in {\mathbb Z}+i{\mathbb Z}$,где i - мнимая единица. При каких ограничениях на $a_k\ne 0$ они сходяться?
У меня получилось что достаточно чтоб $|a_k|>1$при $k>0$ и небыло такого $k>0$, что $a_k={(-1)}^m+i{(-1)}^n,a_{k+1}={(-1)}^{m+1}+i{(-1)}^n$. Только доказать не могу.
5. Доказать что существует такое поле $U\supseteq {\mathbb R}(x)$(${\mathbb R}(x)$-рационалные функции) из гладких функций ${\mathbb R} \to {\mathbb R}$, (возможно не всюду определенных), со свойствами:
a)$\forall f \in U \exists a \in {\mathbb R}:f $ определенна на $ [a,\infty)$
b)$\forall f \in U: f' \in U$
c)$\forall f \in U: \int\limits_{a}^{x}f(t) dt \in U$
d)$\forall f \in U, \forall c \in {\mathbb R}: f(x+c) \in U$
e)$\forall f \in U, \forall c>0 \in {\mathbb R}: f(c x) \in U$
f)$\forall f \in U \exists g\in U :g(x+1)-g(x)=f(x)$
h)$\forall f \in U, f\ne const,\forall c\geqslant a:\{x\geqslant a|f(x)=f(c)\}$-конечно



Если эти задачи где нибудь решены дайте пожалуйста ссылки, в яндексе и нигме найти не могу .

[PAV]

Интересно, как же и зачем Вы их придумали, если решить не можете?

Согласно правилам форума Вы должны привести свои подходы к решению. Если подходов совсем нет, то нечего придумывать такие задачи.

[Null]

Придумал задачи сидя на лекциях. Зачем? Просто интересно для собственного развития.
Не понимаю как это может быть связанно с возможностью решения.
Если бы у меня были подходы я бы решил задачу. Почему мне нельзя придумывать задачи?
Не могли бы вы подсказать место где мне могут помочь с этими задачами?

[Someone]

Null в сообщении #343974 писал(а):

1. Есть линейно упорядоченное множество $M$ без наибольшего и наименьшего элементов. Верно ли что в нем есть неограниченное счетное подмножество $V$ $(\forall x \in M \exists y,z \in V |y<x<z)$

Может и не существовать. Примеры есть совсем простые.

[Xaositect]

В первой, очевидно, нет: например, $\omega^* +\omega_1$

[Null]

Наименьший несчетный ординал и его отражение приделанное слева? Думал же, но что-то ступил.
Ну это самая молодая задача.
Опередили?