Аналог Теоремы Эберлейна - Шмульяна

[MaximVD]

Теорема Эберлейна - Шмульяна гласит (см. Канторович, Акилов "Функциональный анализ"): Пусть $E$ - подмножество банахова пространства $X$. Следующие утверждения эквивалентны
1) $E$ относительно компактно (аналогично - предкомпактно) в слабой топологии пространства $X$
2) $E$ относительно секвенциально компактно (т.е. любая последовательность из $E$ содержит подпоследовательность сходящуюся к точке из $X$) в слабой топологии пространства $X$
3) $E$ относительно счётно компактно (т.е. любая последовательность в $E$ имеет предельную точку из $X$) в слабой топологии пространства $X$

Имеется ли аналог этой теоремы для подмножества $X^*$ - сопряжённого пространства, но уже не для слабой, а для $\text{слабой}^*$ топологии? И если да, то где можно про него почитать?
Интересует, естественно, случай нерефлексивного пространства $X$.

[id]

А это, по-моему, банально неверно. Вот в этом треде на MathOverflow есть по сути построение контпримера (коим будет единичный шарик в $ba(\mathbb R) = L_{\infty}^*$), а в качестве плохой последовательности берем то, что автор указал.

Только
а) Автор не говорит про изометрическое вложение во второе сопряженное, а зря
б) Надо будет показать, что никакого заряда ограниченной вариации, к которому бы сходилась подпоследовательность, тоже нет. Там будет
1) явное использование вида функциолов означивания
2) явное описание того вида, как действует функционал из $L_{\infty}^*$ на функцию из $L_{\infty}$

Вроде все получается.

[Padawan]

Если бы подпоследовательность $f_{n_k}=\chi_{[n_k,n_k+1]}$ $*$-слабо сходилась в $L_{\infty}^\ast$, то для любой функции $g\in L_\infty$ должен был бы существовать предел $\lim_{k\to\infty}\int f_{n_k}g$. А мы возьмем в качестве $g$ функцию, которая на $[n_k,n_k+1]$ при чётных $k$ равна $0$, при нечётных $k$ равна $1$, а в остальных точках -- $0$ (или вообще какая угодно). Тогда указанный предел не существует. Значит, никакая подпоследовательность не является $*$-слабо сходящейся.

(Оффтоп)

Вот опять, подпоследовательности нет сходящейся, а поднаправленность есть.

[MaximVD]

Действительно, в общем случае теорема аналога не имеет. Но, ведь если банахово пространство $E$ сепарабельно, то *-слабая топология метризуема на ограниченном множестве, а значит в сепарабельном случае теорема верна.

Благодарю за помощь.