Уравнение 16_ой степени.

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #343004 писал(а):

Прошу только озвучить чему будет равно выражение:
$r1^2-r2+1=?$

Не для того все сводилось к тригонометрии, чтобы потом с корнями возится. Корни множителя
$x^2+2\cos \left(\frac{4\pi }{17} \right)x+2\cos \left(\frac{8\pi }{17} \right)-1=0$
равны

$$- \cos \left(\frac{4\pi }{17} \right) \pm \sqrt{ \cos \left(\frac{4\pi }{17} \right)^2 - 2\cos \left(\frac{8\pi }{17} \right) + 1} = - \cos \left(\frac{4\pi }{17} \right) \pm \sin \left(\frac{4\pi }{17} \right)\sqrt{3}.$$

[Vvp_57]

maxal в сообщении #343031 писал(а):

Не для того все сводилось к тригонометрии, чтобы потом с корнями возится. Корни множителя
$x^2+2\cos \left(\frac{4\pi }{17} \right)x+2\cos \left(\frac{8\pi }{17} \right)-1=0$
равны

$$- \cos \left(\frac{4\pi }{17} \right) \pm \sqrt{ \cos \left(\frac{4\pi }{17} \right)^2 - 2\cos \left(\frac{8\pi }{17} \right) + 1} = - \cos \left(\frac{4\pi }{17} \right) \pm \sin \left(\frac{4\pi }{17} \right)\sqrt{3}.$$

Недурно для знатока тригонометрии. Можно еще круче отписаться:
$ -\cos \left(\frac{4\pi }{17} \right)\pm \sqrt{3-3\cos^2 \left(\frac{4\pi }{17} \right)$
Интересно открыл бы Гаусс свой семнадцатиугольник будь у него
компьютер и набор крутых программ? Или бы он тоже намекнул
нам что ему не до радикалов, когда тригонометрия рулит?

[venco]

Vvp_57 в сообщении #343039 писал(а):

Можно еще круче отписаться:
$ -\cos \left(\frac{4\pi }{17} \right)\pm \sqrt{3-3\cos^2 \left(\frac{4\pi }{17} \right)$

Или $-2\sin\left(\frac{\pi}6\pm\frac{4\pi}{17} \right)$

[maxal]

Vvp_57
А почему собственно "отписка"? Хочется получить выражение в радикалах - выражайте синус через косинус, вычисляйте косинус кратного угла и подставляйте явное выражение для косинуса из той же википедии...

-- Fri Aug 06, 2010 17:50:21 --

Или вот выражение в терминах многочленов Чебышева:

$$-T_4(\alpha) \pm U_3(\alpha)\sqrt{3-3\alpha^2}$$

где $\alpha = \cos \left(\frac{\pi }{17} \right)$.

[Vvp_57]

maxal в сообщении #343052 писал(а):

Vvp_57
А почему собственно "отписка"?

А потому maxal что я Вас просил о помощи, а не о тригонометрическом решении:
$x=2\cos \left(\frac{2\pi }{51} \right)$
Повторюсь, будте добры распишите чему будет равно в радикалах выражение:
$r1^2-r2+1=?$
При
$r1=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right)$
$r2=\frac{1}{8}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right)\\$
Мы ведь здесь не для перепалок собрались. Зачем воду в ступе толочь? У меня уже для Вас и уравнение кубическое готовиться.
Вот уж где Вы проявите в полной силе мощь программ! Вот там не будет место для философии в радикалах.
Просто нужно с данной темой закруглиться.

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #343067 писал(а):

Повторюсь, будте добры распишите чему будет равно в радикалах выражение:
$r1^2-r2+1=?$

Не вижу в этом особого смысла. Тем более, что у вас есть маткад, с которым вы и без моей помощи справитесь с получением вожделенного выражения в радикалах.

[Vvp_57]

maxal в сообщении #342807 писал(а):

arqady в сообщении #342802 писал(а):

Мм...дя. Ощущение не из приятных.
maxal, и долго он думал? Может, программа работала на гране возможностей компьютора...
Имеет ли смысл придумывать уравнение более высокой степени? Как Вы думаете?
Вобше-то наверняка можно придумать что-то неподъёмное для компьютора и пятой степени...

Почему "не из приятных" - по мне так очень приятно, что ручная работа может быть так эффективно алгоритмизирована.
Думал он совсем недолго - я же сначала искал подходящий знаменатель - так вот, в пределах сотни на некоторых знаменателях мапл задумывался максимум на пару секунд.
Насчёт неприподъёмного - придумайте, а я проверю...

Придумал, проверьте.....(если конечно увидите в этом хоть какой нибудь смысл...)
topic35582.html

[maxal]

Кстати, надо было мне сразу чуть большее расширение взять, тогда бы многие вопросы сами собой отпали:

> alias(alpha=RootOf(cyclotomic(51,z))): simplify( subs(alpha=exp(2*Pi*I/51),factors(x^16 -x^15 - 16*x^14 +16*x^13 +103*x^12 -103*x^11 -339*x^10 +339*x^9+596*x^8-596*x^7-526*x^6+526*x^5+188*x^4-188*x^3-16*x^2+16*x+1,alpha)) );

[1, [
[2*cos(1/51*Pi)+x, 1], 
[x+exp(2/17*I*Pi)-exp(28/51*I*Pi)+exp(40/51*I*Pi), 1], 
[1/2*I*3^(1/2)-2*I*sin(1/51*Pi)-2*I*sin(7/51*Pi)+2*I*sin(11/51*Pi)+x+1/2-exp(2/51*I*Pi)+exp(2/17*I*Pi)-exp(8/51*I*Pi)+exp(4/17*I*Pi)-exp(14/51*I*Pi)+exp(6/17*I*Pi)-exp(20/51*I*Pi)+exp(8/17*I*Pi)-exp(26/51*I*Pi)+exp(10/17*I*Pi)-exp(32/51*I*Pi)+2*I*sin(5/51*Pi)-2*exp(38/51*I*Pi), 1], 
[x-exp(14/51*I*Pi)+exp(20/51*I*Pi)+exp(-16/17*I*Pi), 1], 
[x+exp(2/51*I*Pi)-exp(32/51*I*Pi)+exp(12/17*I*Pi), 1], 
[x+exp(8/51*I*Pi)-exp(26/51*I*Pi)+exp(14/17*I*Pi), 1], 
[x-exp(10/51*I*Pi)+exp(8/17*I*Pi)+exp(-44/51*I*Pi), 1], 
[2*cos(3/17*Pi)+2*cos(1/17*Pi)+x-1-exp(2/51*I*Pi)+exp(4/51*I*Pi)-exp(2/17*I*Pi)+exp(10/51*I*Pi)-exp(4/17*I*Pi)+exp(16/51*I*Pi)-exp(6/17*I*Pi)+exp(22/51*I*Pi)-exp(8/17*I*Pi)+exp(28/51*I*Pi)-exp(10/17*I*Pi)+exp(32/51*I*Pi)-exp(12/17*I*Pi)+exp(38/51*I*Pi)+exp(-46/51*I*Pi)+exp(44/51*I*Pi)+exp(-40/51*I*Pi)+exp(50/51*I*Pi), 1], 
[x+exp(14/51*I*Pi)-exp(20/51*I*Pi)+exp(16/17*I*Pi), 1], 
[-1/2*I*3^(1/2)+2*I*sin(1/51*Pi)+2*I*sin(7/51*Pi)-2*I*sin(11/51*Pi)+x-1/2+exp(2/51*I*Pi)-exp(4/51*I*Pi)-exp(2/17*I*Pi)+exp(8/51*I*Pi)-exp(4/17*I*Pi)+exp(14/51*I*Pi)-exp(6/17*I*Pi)+exp(20/51*I*Pi)-exp(8/17*I*Pi)+exp(26/51*I*Pi)+exp(32/51*I*Pi)-2*I*sin(5/51*Pi)+exp(38/51*I*Pi), 1], 
[x+exp(4/17*I*Pi)-exp(22/51*I*Pi)+exp(46/51*I*Pi), 1], 
[x-exp(8/51*I*Pi)+exp(26/51*I*Pi)+exp(-14/17*I*Pi), 1], 
[2*cos(5/51*Pi)+x, 1], 
[2*cos(11/51*Pi)+x, 1], 
[x-exp(16/51*I*Pi)+exp(6/17*I*Pi)+exp(-50/51*I*Pi), 1], 
[2*cos(7/51*Pi)+x, 1]
]]