доказать связность пространства без счетного числа прямых

[neo66]

мат-ламер в сообщении #332311 писал(а):

А плоскость без рациональных точек связна?

И даже линейно связна.

[Kasky]

А можно ли сказать, что на плоскости самое большое счетное множество, это множество точек с рациональными координатами?

[ИСН]

Ну, алгебраических гораздо "больше".

[Kasky]

В смысле?

[Хорхе]

"Самого большого" счетного множества не найдется: всегда можно к счетному множеству добавить точку и сделать его "больше".

[ewert]

Kasky в сообщении #334457 писал(а):

В смысле?

Ну в смысле их ровно столько же, но при этом гораздо больше. Неужто непонятно?...

[ИСН]

В смысле, туда входят все рациональные и ещё дофига, понимаете?

[Kasky]

Понял)

[Профессор Снэйп]

Под хорошей кривой будем понимать замкнутое множество $c \subseteq \mathbb{R}^3$, такое что внутренность $c$ пуста и для любого шара $B \subseteq \mathbb{R}^3$ множество $B \setminus c$ связно. Доказать, что если из $\mathbb{R}^3$ выкинуть счётное семейство хороших кривых, то останется связное множество.

(Оффтоп)

Пусть $C$ --- множество точек, лежащих на выброшенных кривых и множество $\mathbb{R}^3 \setminus C$ несвязно. Тогда найдутся непустые открытые множества $X$ и $Y$, такие что $X \cup Y \cup C = \mathbb{R}^3$ и $X \cap Y \subseteq C$. По теореме Бэра внутренность $C$ пуста и, значит, $\mathrm{cl}(X) \cup \mathrm{cl}(Y) = \mathbb{R}^3$. Если $\mathrm{cl}(X) \cap \mathrm{cl}(Y) = \varnothing$, то $\mathbb{R}^3$ несвязно; противоречие. Значит, $\mathrm{cl}(X) \cap \mathrm{cl}(Y) \neq \varnothing$. По теореме Бэра найдутся открытое множество $U \subseteq \mathbb{R}^3$ и кривая $c \subseteq C$, такие что $\varnothing \neq U \cap \mathrm{cl}(X) \cap \mathrm{cl}(Y) \subseteq c$. Получаем, что $U \setminus c = ((U \setminus c) \cap \mathrm{cl}(X)) \cup ((U \setminus c) \cap \mathrm{cl}(Y))$ --- несвязное множество. Противоречие.