непрерывность функции

[farover]

как известно в определении непрерывности сказано следующее.
Существуют два метрических пространства $X,Y$. $E\subset X$$p\in E$
причем о том какого рода точка не сказано. ну и наконец $f:E\to Y$.

$f$ называется непрерывной в точке $p$, если:
для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ :
$d_Y (f(x),f(p)) < \varepsilon $, для всех точек $x\in E :$$ d_X (x,p)< \delta$
а если получится так что точка не предельная, т.е. в окрестности в определенный момент окажется ТОЛЬКО точка $p$. Определение сработает? Я правильно понимаю?

а если точка предельная, но не принадлежит множеству, на котором определена функция, то получается, что функция терпит разрыв?
спасибо. жду потдверждения\опровержения

[gris]

В матанализе в изолированной точке области определения функция считается непрерывной (Зорич).

Есть понятие устранимого разрыва, хотя тут есть разночтения. У некоторых авторов в точке разрыва функция таки должна быть определена. Но обычно для функций действительного аргумента точку, в которой функция не определена, считают точкой разрыва.

Для отображений метрических пространств вроде бы не вводится понятие точки разрыва. Если отображение не определено в точке, то оно не является в нём непрерывным.

[Виктор Викторов]

Функция непрерывна, если полный прообраз каждого открытого множества открытое множество.
Локальный вариант: Функция непрерывна в точке, если полный прообраз образа этой точки содержит открытую окрестность этой точки.
Поэтому,

gris в сообщении #342882 писал(а):

Если отображение не определено в точке, то оно не является в нём непрерывным.

даже вопрос о непрерывности в этой точке не может быть задан.

А в случае,

gris в сообщении #342882 писал(а):

Есть понятие устранимого разрыва, хотя тут есть разночтения.

речь идёт о доопределении функции в точке, где она (функция) не определена так, чтобы после этого доопределения, функция была непрерывна в этой точке.

gris в сообщении #342882 писал(а):

В матанализе в изолированной точке области определения функция считается непрерывной (Зорич).

Это так именно потому, что полный прообраз образа этой точки содержит эту изолированную точку. А сама изолированная точка – открытое множество в топологии области определения, индуцированной стандартной топологией действительных чисел.

[farover]

да, спасибо большое, я все понял..вроде как.

[JMH]

Виктор Викторов в сообщении #342940 писал(а):

Функция непрерывна в точке, если полный прообраз образа этой точки содержит открытую окрестность этой точки.
.......
А сама изолированная точка – открытое множество в топологии области определения, индуцированной стандартной топологией действительных чисел.

Извините, но эти утверждения мне кажутся более чем странными: в первом случае получается бессмыслица для любой биективной функции, во втором - изолированная точка является открытым множеством только в дискретной топологии и ни в какой другой.

[Виктор Викторов]

JMH в сообщении #342999 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #342940 писал(а):

Функция непрерывна в точке, если полный прообраз образа этой точки содержит открытую окрестность этой точки.
.......
А сама изолированная точка – открытое множество в топологии области определения, индуцированной стандартной топологией действительных чисел.

Извините, но эти утверждения мне кажутся более чем странными: в первом случае получается бессмыслица для любой биективной функции,

Да, это опепятка у меня в голове. Функция непрерывна в точке, если полный прообраз окрестности образа этой точки содержит открытую окрестность этой точки.

JMH в сообщении #342999 писал(а):

во втором - изолированная точка является открытым множеством только в дискретной топологии и ни в какой другой.

А вот здесь Вы ошибаетесь. Рассмотрим множество $[3; 15]\cup \{21\}\cup [25; 76]$ с топологией индуцированной действительной прямой. $\{21\}$ – открытое множество в топологии пространства $[3; 15]\cup \{21\}\cup [25; 76]$.

Если точка некоторого множества на числовой прямой изолированная точка этого множества, то существует такой открытый интервал, что только эта точка и принадлежит этому множеству в этом открытом интервале. Но в таком случае пересечение этого открытого интервала с тем самым множеством и есть единственная точка (изолированная точка) и единичное множество, состоящее из этой точки, является открытым в индуцированной топологии.

(Оффтоп)

Уф!

[JMH]

Виктор Викторов в сообщении #343005 писал(а):

Рассмотрим множество $[3; 15]\cup \{21\}\cup [25; 76]$ с топологией индуцированной действительной прямой. $\{21\}$ – открытое множество в топологии пространства $[3; 15]\cup \{21\}\cup [25; 76]$.

Пара вопросов: если $X=[3,15]\cup \{21\}\cup [25,76]$ есть топологическое пространство, $\{21\}$ - открытое множество, то стало быть $X\setminus\{21\}=[3,15]\cup [25,76]$ - замкнутое множество? И еще: как Вы определяете топологическую структуру в данном случае? Т.е. как определить произвольное открытое (или замкнутое - без разницы) множество в этой топологии?

[Виктор Викторов]

JMH в сообщении #343016 писал(а):

если $X=[3,15]\cup \{21\}\cup [25,76]$ есть топологическое пространство, $\{21\}$ - открытое множество, то стало быть $X\setminus\{21\}=[3,15]\cup [25,76]$ - замкнутое множество?

Да. $X\setminus\{21\}=[3,15]\cup [25,76]$ - замкнутое множество.

JMH в сообщении #343016 писал(а):

как Вы определяете топологическую структуру в данном случае? Т.е. как определить произвольное открытое (или замкнутое - без разницы) множество в этой топологии?

Очень хороший вопрос!
Берется множество. Например, $[3; 15]\cup \{21\}\cup [25; 76]$. И рассматриваются пересечения с каждым открытым множеством числовой прямой. Каждое такое пересечение и есть открытое множество в пространстве $[3; 15]\cup \{21\}\cup [25; 76]$. Например, множества $[3; 5)$, $(7; 10)$, $\{21\}$ и многие другие. Проверьте по любому учебнику определение индуцированной топологии.

[JMH]

Виктор Викторов в сообщении #343022 писал(а):

1) Да. $X\setminus\{21\}=[3,15]\cup [25,76]$ - замкнутое множество.

2) Берется множество. Например, $[3; 15]\cup \{21\}\cup [25; 76]$. И рассматриваются пересечения с каждым открытым множеством числовой прямой. Каждое такое пересечение и есть открытое множество в пространстве $[3; 15]\cup \{21\}\cup [25; 76]$.

Итак, в соответствии с 1), $X\setminus\{21\}=[3,15]\cup [25,76]$ - замкнутое множество. Далее, в соответствии с 2), берем пересечение нашего пространства с $(2,16)\cup(24,77)$ - множеством, открытым в $\mathtub{R}$ и получаем открытое множество $[3,15]\cup [25,76]$, каковое, в соответствии с 1) является замкнутым. Как известно, в любом топологическом пространстве одновременно открытым и замкнутым являются только само пространство и пустое множество, т.о. мы получили противоречие.

(Оффтоп)

Не подумайте, что мне нравится цепляться к каждому слову, просто некоторые Ваши утверждения вызывают некоторую путаницу в моей голове

[Виктор Викторов]

JMH в сообщении #343024 писал(а):

Как известно, в любом топологическом пространстве одновременно открытым и замкнутым являются только само пространство и пустое множество,

Откуда Вы это взяли?

В пространстве $[3; 15]\cup \{21\}\cup [25; 76]$ открыто-замкнуты пустое множество, множество $[3; 15]\cup \{21\}\cup [25; 76]$, множество $[3; 15]$, множество $ \{21\}$ и множество $[25; 76]$.

(Оффтоп)

Учите мат. часть.

JMH в сообщении #343024 писал(а):

Как известно, в любом топологическом пространстве одновременно открытым и замкнутым являются только само пространство и пустое множество,

В этой фразе одно лишнее слово «только». Действительно, как известно, в любом топологическом пространстве одновременно открытым и замкнутым являются само пространство и пустое множество. Но могут быть и другие одновременно открытые и замкнутые множества. Пространство, где такие водятся называется несвязным.

[JMH]

Я почти уверен, что видел в одной из книг утверждение, что одновременно открытым и замкнутым в любом топологическом пр-ве являются только все пр-во и пустое мн-во, так что я пошел учить матчасть - искать где я это видел...

[Виктор Викторов]

JMH в сообщении #343037 писал(а):

Я почти уверен, что видел в одной из книг утверждение, что одновременно открытым и замкнутым в любом топологическом пр-ве являются только все пр-во и пустое мн-во, так что я пошел учить матчасть - искать где я это видел...

А, вот я уверен, что Вы ошибаетесь. Возьмите любой учебник по топологии и найдите определение связного и несвязного пространства.