Гипотеза Линделефа

[Skipper]

Как на данный момент обстоят дела с гипотезой Линделефа? Приблизился ли кто-нибудь к доказательству, какие наибольшие достижения в этой области (может доказаны похожие, но менее сильные утверждения и т.п.)?

[Хорхе]

Википедия знает

[Skipper]

Хорхе, я спросил, потому что может, кто читал какие умные книжки, по теории, и там получше расписано, чем в википедии и в научно-популярных статейках.

[age]

Skipper
А что мешает написать формулировку, все самому расписать: что за гипотеза, в чем ее смысл? Доступно и красиво?

[sceptic]

Лет пять назад подарили мне книжку "Усольцев Л.П. Новый метод оценки тригонометрических сумм в приложениях к задачам аналитической теории чисел". Издана в 2001 в Самаре.
Автор развивает новый подход к оценке сумм тригонометрических рядов вида $S_u(N)=\sum \limits_{N/2\leqslant n\leqslant N}e^{2\pi iuf(n)}$, где $u>1, 2\leqslant N\leqslant cu^\alpha$, $c$ и $\alpha$ - положительные абсолютные константы, $\alpha\leqslant 1$, a $f(x)$ - монотонная функция в промежутке $1\leqslant x \leqslant N$, имеющая в этом промежутке либо только положительную, либо только отрицательную непрерывную производную 2-го порядка. Для всех таких сумм автор получает оценку $|S_u(N)|<C\sqrt{N}ln^3u$ с абсолютной константой $C>0$. Это, в частности позволяет ему доказать гипотезу Линделёфа (есть и другие впечатляющие результаты: решение проблемы Гаусса о распределении целых точек в круге: решение проблемы делителей Дирихле).
Я честно проштудировал монографию - дыр в доказательствах не нашел. Впрочем, это не показатель - я не аналитик. Хорошо бы все это показать спецам в аналитической теории чисел.
Но неужто они не заметили работу? Странно все это... и подозрительно .

[Руст]

sceptic в сообщении #342840 писал(а):

Лет пять назад подарили мне книжку "Усольцев Л.П. Новый метод оценки тригонометрических сумм в приложениях к задачам аналитической теории чисел". Издана в 2001 в Самаре.
Автор развивает новый подход к оценке сумм тригонометрических рядов вида $S_u(N)=\sum \limits_{N/2\leqslant n\leqslant N}e^{2\pi iuf(n)}$, где $u>1, 2\leqslant N\leqslant cu^\alpha$, $c$ и $\alpha$ - положительные абсолютные константы, $\alpha\leqslant 1$, a $f(x)$ - монотонная функция в промежутке $1\leqslant x \leqslant N$, имеющая в этом промежутке либо только положительную, либо только отрицательную непрерывную производную 2-го порядка. Для всех таких сумм автор получает оценку $|S_u(N)|<C\sqrt{N}ln^3u$ с абсолютной константой $C>0$.

Это неравенство скорее всего верное. Давайте здесь разберем доказательство автора, если оно не очень громоздкое. Раз специалисты не знают, скорее всего оно ошибочное.

[sceptic]

Руст в сообщении #342868 писал(а):

Это неравенство скорее всего верное. Давайте здесь разберем доказательство автора, если оно не очень громоздкое. Раз специалисты не знают, скорее всего оно ошибочное.

Основной результат - следующая
Теорема 1.
При всех $t\in \mathbb{R}$ и $N\in \mathbb{N}$, удовлетворяющих условию $2\leqslant N\leqslant \sqrt{|t|}$, справедлива оценка
$|\sum \limits_{n=1} \limits^{N} n^{it}|<C\sqrt{N}ln^4|t|$, где $C>0$ - абсолютная константа.
Оценка Теоремы 1 позволяет обычным путем, т.е. используя приближенное функциональное уравнение дзета-функции Римана $\zeta(s)$ в критической полосе (здесь автор ссылается на книгу "Чандрасекхаран К. Арифметические функции. Перев. с англ.- М.: Наука, 1975": стр. 86, формула (53); странно, но этой книги нет в местной библиотеке ), придти к следующему утверждению:
При $|t|\geqslant 2$ справедлива оценка $\zeta(\frac 1 2 +it)=O(|t|^{\varepsilon})$, где $\varepsilon>0$ - любое, а постоянная в символе $O$ зависит только от $\varepsilon$. Собственно, это и есть содержание гипотезы Линделёфа.
Доказательство Теоремы 1 занимает 55 страниц, нашпигованных громоздкими формулами. Излагать его здесь - адский труд. Как-то не вдохновляет. Мне кажется, нужно дождаться появления книги в Сети (рано или поздно, все интересное попадает в нее, не правда ли? ), и тогда можно будет устроить brainstorming доказательства.

[Руст]

sceptic писал(а):

Мне кажется, нужно дождаться появления книги в Сети (рано или поздно, все интересное попадает в нее, не правда ли? ), и тогда можно будет устроить brainstorming доказательства.

Уже прошло 9 лет после выхода книги. Если книга за это время не появилась в интернете, то маловероятно, что она появиться в следующее 10 лет.

[sceptic]

Оптимизм мой оправдывается: книга Усольцева уже появилась в местной библиотеке .

[Skipper]

Если верна гипотеза Линделёфа, то что можно сказать о количестве нетривиальных нулей дзета-функции, не лежащих на критической прямой?

[ex-math]

Skipper
Посмотрите у Титчмарша на с.327.

Гипотеза Линделефа не доказана. Работы Усольцева никто всерьез не принимает, некоторые из его результатов противоречат известным $\Omega $-теоремам.

[Skipper]

Цитата:

Посмотрите у Титчмарша на с.327.

Хотелось бы более понятным языком. У Дербишира я читал, если верна гипотеза Линделёфа, то количество нулей дзета-функции не лежащих на критической прямой как то будет ограничено, но как именно? Их все равно может быть счетное, и бесконечное количество?
При этом одна бесконечность может быть больше другой бесконечности?

[ex-math]

Skipper
Дело не в мощности множества, а в распределении этих нулей. Обычно смотрят число нулей с вещественной частью больше $\sigma $ и мнимой частью от нуля до $T $, его и обозначают $N (\sigma, T) $. У Титчмарша фигурирует разность $N (\sigma,T+1)-N (\sigma,T) $, смысл ее, думаю, понятен. Если $\sigma>0.5$, то гипотеза Линделефа эквивалентна тому, что эта разность, будучи деленной на $\ln T $, будет стремиться к нулю (а без гипотезы Линделефа можно утверждать только ограниченность такого отношения).

[Skipper]

Спасибо. Т.е. если гипотеза Линделефа верна, то количество этих нулей, не лежащих на критической прямой, просто - намного меньше чем количество нулей на критической прямой? Но в любом случае, может быть бесконечное количество обоих типов нулей. Намного более сильное утверждение было бы, о том, что лишь конечное количество нулей может не лежать на критической прямой.

[ex-math]

Skipper
Да, в общих чертах так.

Если бы вне критической прямой лежало бы лишь конечное число нулей, это была бы по сути гипотеза Римана.