Забавное неравенство 3

[neo66]

Доказать такое неравенство:

$$a^nb^n+\sqrt{(1-a^{2n})(1-b^{2n})} \ge (ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})^n$$

если $a,b \in [-1,1]$, $n$ - положительное целое?

[DiviSer]

neo66 в сообщении #341745 писал(а):

Доказать такое неравенство:

$$a^nb^n+\sqrt{(1-a^{2n})(1-b^{2n})} \ge (ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})^n$$

если $a,b \in [-1,1]$, $n$ - положительное целое?

$a^nb^n+\sqrt{(1-a^{2n})(1-b^{2n})} \ge (ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})^n\Leftrightarrow$

$\sqrt{(1-a^{2n})(1-b^{2n})} \ge ((ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})-ab)((ab+ \sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})^{n-1}+....+(ab)^{n-1}) \Leftrightarrow$

$\sqrt{1+a^2+...+a^{2(n-1)}}\sqrt{1+b^2+...+b^{2(n-1)}} \ge (ab+(\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})^{n-1}+....+(ab)^{n-1})\Leftrightarrow$

$1+ab+(ab)^2+...+(ab)^{n-1} \ge ( ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})^{n-1}+....+(ab)^{n-1})$

всследствии чего достаточно показать что: $(ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})}) \leq 1$ :
$(ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})}) \leq 1\Leftrightarrow (ab+\frac{(1-a^{2})+(1-b^{2})}{2}) \leq 1\Leftrightarrow -a^{2}+2ab-b^{2} \leq 0$

[arqady]

DiviSer в сообщении #341761 писал(а):

$1+ab+(ab)^2+...+(ab)^{n-1} \ge ( ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})^{n-1}+....+(ab)^{n-1})$

всследствии чего достаточно показать что: $(ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})}) \leq 1$

А если $ab<0$

[neo66]

Это не страшно. Как показал DiviSer достаточно доказать неравенство:

$$\sqrt{1+a^2+...+a^{2(n-1)}}\sqrt{1+b^2+...+b^{2(n-1)}} \ge (ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})^{n-1}+....+(ab)^{n-1})$$

Но, по неравенству Коши-Шварца:

$$\sqrt{1+a^2+...+a^{2(n-1)}}\sqrt{1+b^2+...+b^{2(n-1)}} \ge 1 + |ab|+|ab|^2 + \dots |ab|^{n-1} $$

и

$$1 + |ab|+|ab|^2 + \dots |ab|^{n-1} \ge (ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})^{n-1}+....+(ab)^{n-1})$$

так как $|ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2}})| \leq 1$.

[arqady]

neo66, Ваше доказательство верно, а DiviSer-а - нет!

[DiviSer]

arqady в сообщении #341792 писал(а):

DiviSer в сообщении #341761 писал(а):

$1+ab+(ab)^2+...+(ab)^{n-1} \ge ( ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})^{n-1}+....+(ab)^{n-1})$
всследствии чего достаточно показать что: $(ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})}) \leq 1$

А если $ab<0$

пардон, пропустил самое главное)))

arqady в сообщении #341813 писал(а):

neo66, Ваше доказательство верно, а DiviSer-а - нет!

вы абсолютно правы!!

[neo66]

neo66 в сообщении #341745 писал(а):

Доказать такое неравенство:

$$a^nb^n+\sqrt{(1-a^{2n})(1-b^{2n})} \ge (ab+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})^n$$

если $a,b \in [-1,1]$, $n$ - положительное целое?

Аналогично, верно:

$$a^nb^n-\sqrt{(1-a^{2n})(1-b^{2n})} \le (ab-\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})})^n$$