Определенный интеграл. Помогите понять, как решено

[basil-777]

Дано
$\int\limits_{0}^{1}dxx^{n-1} \int\limits_{x}^{1}\frac {dy} y C(\frac x y) f(y)$
Запишем в виде
$I=\int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{x}^{1}dy F(x,y)$, где $F(x,y)=x^{n-1} \frac 1 y C(\frac x y) f(y)$
$I=\int\limits_0^1 dy \int\limits_0^y dx F(y,x) = \int\limits_0^1 dx \int\limits_0^x dy F(y,x)$

Не могу понять, как из $I=\int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{x}^{1}dy F(x,y)$ получают $I=\int\limits_0^1 dy \int\limits_0^y dx F(y,x) = \int\limits_0^1 dx \int\limits_0^x dy F(y,x)$
в частности, почему так меняются пределы интегрирования во внутреннем интеграле и переменные интегрирования в обоих (равенство в последней строке)

[EtCetera]

Изменение порядка интегрирования. Начертите область интегрирования (а это будет равнобедренный прямоугольный треугольник), и Вы увидите почему $D_1:\ 0\le x\le 1,\ x\le y\le 1$ и $D_2:\ 0\le y\le 1,\ 0\le x\le y$ - суть одно и то же. Правда, у Вас, по-видимому, опечатка: не $I=\int\limits_0^1 dy \int\limits_0^y dx F(y,x)$, а $I=\int\limits_0^1 dy \int\limits_0^y dx F(x,y)$.
Последнее же равенство (в свете обнаруженной опечатки, если это действительно она) представляет собой простое переименование переменных: $x\to y$ и $y\to x$. Данное действие справедливо, т.к. переменные интегрирования - это сугубо локальные переменные, и в конечное выражение значения определенного интеграла не входят (т.е. над ними можно производить любые операции переименования, не приводящие к конфликту имен). Замечу, что с чисто технической стороны такое переименование переменных в данном случае равносильно отражению плоскости $Oxy$ относительно прямой $y=x$.

[basil-777]

EtCetera, да там опечатка, Вы верно заметили
спс, про изменение порядка интегрирования понял)
Единственное, что не пойму до конца, для чего делали переименование $x \to y$ и $y \to x$. Можно наверное и без этого было обойтись?
А так да, получается что сначала была область над прямой $y=x$, а потом стала ей равная под прямой.

[EtCetera]

basil-777 в сообщении #341171 писал(а):

Единственное, что не пойму до конца, для чего делали переименование $x \to y$ и $y \to x$. Можно наверное и без этого было обойтись?

Точно утверждать не могу, т.к. не знаю всего хода решения полной задачи.
Вообще, подобные переименования бывают полезны для "состыковки" наименований переменных при нахождении алгебраической суммы нескольких интегралов (быть может, следующим шагом решения как раз и является суммирование интегралов?).
Хотя возможно, тем, кто решал эту задачу, просто показалось более целесообразным вернуться к "естественному" порядку переменных интегрирования, при котором $x$ является переменной интегрирования внешнего интеграла, а $y$ ($z$, $w$...) - внутреннего (-их) интеграла (-ов).