Тригонометрическое неравенство.

[Armag]

Господа пожалуйста помогите решить этот пример:
$cos4x-\sqrt{3}sin4x>0$
Я переводил все в тангенсы и вот что у меня получилось:
$2tg2x-\sqrt{3}-\sqrt{3}tg^2 2x$ это числитель,
и знаменатель $1+tg^2 2x$ он не имеет смысла.
Далее не знаю что делать, пожалуйста подскажите.Желательно поподробнее.
Или может как можно легче решить?

[EtCetera]

Armag в сообщении #341121 писал(а):

Или может как можно легче решить?

Можно. Разделите обе части неравенства на 2 и вспомните формулу косинуса суммы.

[Алексей К.]

Также заметим, что в тангенсы Вы перевели неправильно.

[Armag]

А как правильно?

[EtCetera]

Armag
Вы формулы выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла перепутали друг с другом.
Ну и еще. Можно заметить, что "неправильной" формулой для синуса Вы также воспользовались с ошибкой (минус на минус...). Правда, этой ошибки не произошло бы в случае применения "правильных" формул.

[Mitrius_Math]

Поделить обе части неравенства на $\cos4x$ и рассмотреть cовокупность двух систем (когда $\cos4x>0$ и $\cos4x<0$).

[Алексей К.]

Способ, предложенный EtCetera, называется как-то вроде введением вспомогательного угла, может, аргумента (почитайте, книжечка какая-нть имеется?).

$$\frac12 \cos 4x - \frac{\sqrt3}{2}\sin 4x = \cos\xi \cos 4x - \sin\xi \sin 4x = \ldots$$

$\xi$ и есть этот вспомогательный угол. Его синус и косинус Вы видите, его значение должны определить, формулку продолжить, как подсказано выше (косинус суммы).

-- 27 июл 2010, 11:11 --

Способов, как видите, много...

[Armag]

Огромное спасибо я все понял.