Формула дает наглядное понимание детерминированности этого ряда,
глубины зависимости, нелинейности и ассимптотики внутри него.
В интервале

детерминированность видна невооруженным глазом, все простые

.
Глубины зависимости - очень хочется увидеть в нескольких слова, что это значит.
Нелинейностью у которой рост меньший роста прямой линии (логарифмическая), наверное не на dxdy потрясать воображение.
Последняя сумма, как Вы знаете, ассимптотически эквивалентна .
Перед помянутой суммой есть множитель

.
С уважением,
Детерминированность ряда простых чисел следует уже из существования такой формулы, которая приведена)
Если у Вас есть другая формула, которая не содержит в правой части неопределенных заранее величин
(или рекурсивно связанных величин) для

, поделитесь, пожалуйста.
Глубина зависимости
![$\left[\sqrt{n}\right]$ $\left[\sqrt{n}\right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/9/4e9923173e18983ed408fdb3a9ddef8282.png)
.
Именно поэтому пишу: "последняя сумма", а не последнее слагаемое.
-- Вс июл 25, 2010 05:33:36 --Откинув последнюю двойную сумму (она неотрицательна) имеем:
![\pi(n)\geqslant n-1-\sum_{i=2}^{\left[\sqrt{n}\right]}\left(\left[\frac{n}{i}\right]-i+1\right)=
n-1+\sum_{i=1}^{\left[\sqrt{n}\right]-1}i-\sum_{i=2}^{\left[\sqrt{n}\right]}\left[\frac{n}{i}\right]\geqslant n-1+\frac{\left(\left[\sqrt{n}\right]-1\right)\left[\sqrt{n}\right]}{2}-\sum_{i=2}^{\left[\sqrt{n}\right]}\frac{n}{i}\geqslant n-1+\frac{\left(\left[\sqrt{n}\right]-1\right)\left[\sqrt{n}\right]}{2}-n\sum_{i=2}^{\left[\sqrt{n}\right]}\frac{1}{i} \pi(n)\geqslant n-1-\sum_{i=2}^{\left[\sqrt{n}\right]}\left(\left[\frac{n}{i}\right]-i+1\right)=
n-1+\sum_{i=1}^{\left[\sqrt{n}\right]-1}i-\sum_{i=2}^{\left[\sqrt{n}\right]}\left[\frac{n}{i}\right]\geqslant n-1+\frac{\left(\left[\sqrt{n}\right]-1\right)\left[\sqrt{n}\right]}{2}-\sum_{i=2}^{\left[\sqrt{n}\right]}\frac{n}{i}\geqslant n-1+\frac{\left(\left[\sqrt{n}\right]-1\right)\left[\sqrt{n}\right]}{2}-n\sum_{i=2}^{\left[\sqrt{n}\right]}\frac{1}{i}](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/e/bae3191cabcf7a13697ddb16048bbea482.png)
Последняя сумма, как Вы знаете, ассимптотически эквивалентна

.
Т.е.

, т.к. выражение справа - отрицательно при

.
Совершенно верно, более того, начиная с

появляются значимые слагаемые в отброшенной сумме.
Поэтому первый шаг к ассимптотической оценке работает хорошо для первых 15 чисел, для следующих - нужно оценивать части оставшейся суммы.