Исследование ряда на сходимость

[Lilif]

Необходимо исследовать ряд на сходимость $\sum\limits_{n =1}^{\infty}\frac {\ln n}{n\sqrt{n}}$
Попытка применить признак Даламбера не привела ни к какому результату.
Возникла идея применить интегральный признак. С положительностью, вроде, все нормально, а вот с убыванием... Ведь, если не ошибаюсь, на $[1;e^{\frac{2}{3}}]$ $f(x)=\frac {\ln x}{x\sqrt{x}}$ - возрастает.

[Padawan]

Используйте то, что $\ln n=O(n^\mu)$ при $n\to\infty$ для любого показателя $\mu>0$. Далее признак сравнения.

[gris]

В рядах можно смело игнорировать несколько начальных членов. Главное, чтобы признаки начали работать, начиная с некоторого номера.
Но убывания недостаточно для сходимости.

[Lilif]

Padawan в сообщении #339172 писал(а):

Используйте то, что $\ln n=O(n^\mu)$

Можно чуть подробнее о $O(n^\mu)$ ? Символика мне, к сожалению, не знакома, хотя приблизительно догадываюсь о чем речь.

gris,

Цитата:

Но убывания недостаточно для сходимости.

Было проверено, что функция положительна, что $f(n)=a_n$, и что несобственный интеграл сходится. Смутило возрастание на указанном отрезке.

Или я что-то упустила?

[gris]

А, так Вы доказали, что интеграл сходится?
Ну тогда посмотрите в следствии из теоремы о интегральном признаке:

неотрицательность и убывание функции и сходимость интеграла достаточно доказать на интервале $[n;\infty)$ для некоторого $n$.
То есть для Вашего случая можно взять $x=n=3$.

[Lilif]

Да, доказала.
Спасибо за следствие, оно многое решает

[ewert]

Вообще-то для конкретно этого случая нужен вовсе не интегральный признак (с монотонностями частенько та или иная морока, и практически всегда ненужная), а рецепт от Padawan: $\ln n<\sqrt[4]{n}$ при всех достаточно больших $n$. (То, что потом формально всё равно возникает как бы интегральный признак -- уже никому не должно быть интересно.)

А вот что Вы задумываетесь о начальном участке, рассуждая о сходимости -- это уже признак нехороший. Это уже свидетельствует о непонимании существа дела.