Объём пересечения цилиндров

[caxap]

Берём два цилиндра радиуса $R$. И перескаем их под прямым углом (без смещения, их центральные оси должны пересечься). Как найти объем их общей части?
У меня даже представит не получается. А как её объём искать непонятно совсем. Если интегралом, то можно разрезать получившиеся тело пополам. В основании будет круг. Т.е. надо интегрировать по этому кругу. Но непонятно, какая будет функция "высоты" $f(x,y)$, которую по этому кругу надо интегрировать.

[ewert]

Там получается подушка, состоящая их четырёх четвертинок. Т.е. считать придётся $4\int\limits_0^Rdx\int\limits_{-x}^xdy\cdot2\sqrt{R^2-x^2}$. А это легко.

[mihailm]

ewert в сообщении #338749 писал(а):

Там получается подушка, состоящая их четырёх четвертинок

Лучше апельсин из четырех долек)

[meduza]

Ну, в принципе, можно и без интеграла. Рассечём эту подушку на слои плоскостями, параллельными осям цилиндров. Каждый слой будет квадратный. Впишем в каждый такой квадрат круг. Объём подушки -- эта сумма объёмов всех (квадратных) слоёв, а сумма всех круглых слоев будет шаром радиуса $R$. Понятно, что отношение объёма подушки к объёму этого шара ($4\pi R^3/3$) равно отношению площадей квадратных сечений к площадям круглых сечений ($=(2R)^2/(\pi R^2)=4/\pi$). Отсюда выражаем объём подушки.

[ewert]

можно всё, я просто написал, что получается тупо и в лоб

[mihailm]

caxap в сообщении #338746 писал(а):

В основании будет круг. Т.е. надо интегрировать по этому кругу.

Смотря в каком основании, если смотреть сверху на крест из цилиндров, то
в основании будет квадрат

[caxap]

Посчитал интеграл ewertа, получилось $\frac {16 R^3}{3}$. Потом посчитал по методу meduza, получилось то же! Cпасибо всем!

[Yu_K]

http://dxdy.ru/topic23140.html

[lega4]

Извиняюсь за некропостинг, но:

ewert в сообщении #338749 писал(а):

Там получается подушка, состоящая их четырёх четвертинок. Т.е. считать придётся $4\int\limits_0^Rdx\int\limits_{-x}^xdy\cdot2\sqrt{R^2-x^2}$. А это легко.

Понятно, что это в некотором смысле табличный интеграл, но он уж очень противный. Мне надо посчитать центр масс половинки пересечения цилиндров и так интегрировать вообще не радует.. Не подскажете, есть ли способ поэлегантнее? Думал насчет какой-нибудь цилиндрической замены координат, но не очень хорошо получается..

[lega4]

Стоп-стоп, откуда именно такой интеграл вообще? Под корнем должна быть другая переменная, насколько я могу прикинуть, y в данном случае. Или тут проделаны какие-то не слишком очевидные, на первый взгляд, рассуждения о симметрии? У меня, как я не расставляю интегралы, получается интеграл от этого корня по переменной, которая стоит под корнем..

[ewert]

lega4 в сообщении #557170 писал(а):

это в некотором смысле табличный интеграл, но он уж очень противный.

Ничего противного: считайте ровно в том порядке, в каком он записан -- сначала по игрекам, потом по иксам. Это в уме делается.

lega4 в сообщении #557170 писал(а):

Мне надо посчитать центр масс половинки пересечения цилиндров

Смотря какой половинки.

[lega4]

ewert в сообщении #557365 писал(а):

lega4 в сообщении #557170 писал(а):

это в некотором смысле табличный интеграл, но он уж очень противный.

Ничего противного: считайте ровно в том порядке, в каком он записан -- сначала по игрекам, потом по иксам. Это в уме делается.

Вот-вот, тот, что вы написали, да, так и считается. Но у меня, как ни расставляю, получается интеграл от корня по переменной под корнем, что сильно противнее.

ewert в сообщении #557365 писал(а):

lega4 в сообщении #557170 писал(а):

Мне надо посчитать центр масс половинки пересечения цилиндров

Смотря какой половинки.

$x^2+y^2=R^2, y^2+z^2=R^2, z\geq0$ - вот такой половинки

[ewert]

lega4 в сообщении #557432 писал(а):

$x^2+y^2=R^2, y^2+z^2=R^2, z\geq0$ - вот такой половинки

Тогда ясно, что $x_c=0$ и $y_c=0$. А что касается $z_c$, то разбейте Вашу область на четыре осьмушки, тогда получится $z_c=\frac12(x_0+z_0)$, где $x_0,\;z_0$ -- координаты центра тяжести одной осьмушки. Интегралы будут чуть похуже, но всё равно легко берутся заменой $x=R\sin t$.

[lega4]

ewert в сообщении #557439 писал(а):

А что касается $z_c$, то разбейте Вашу область на четыре осьмушки, тогда получится $z_c=\frac12(x_0+z_0)$, где $x_0,\;z_0$ -- координаты центра тяжести одной осьмушки.

Как-то интуитивно не очень понятно, что $z_c$ вычисляется именно так, можно поподробнее немного?

[ewert]

Все четыре осьмушки одинаковы. При этом, скажем, первая получается отражением второй относительно биссектрисы координатного угла, при котором $x_0$ и $z_0$ меняются ролями.