Демидович 2214, 2216

[caxap]

2214. Найти площадь части поверхности цилиндра $x^2+y^2=R^2$, $z\geq 0$, содержащуюся между плоскостями $z=mx$, $z=nx$ ($m>n>0$).

2216. Вычислить площадь поверхности цилиндра $x^2+y^2=ax$, вырезанную из него сферой $x^2+y^2+z^2=a^2$.

Предполагается пользоваться формулой $S=\iint_S \sqrt{1+z'_x^2+z'_y^2}\,dx\,dy$. Обычно всё просто: дана некоторая область $S$ и поверзность над этой областью, каждой точке $(x,y)$ соответсвует одна точка этой поверхности. В этих задачах не получается спроецировать проверхности (плозади которых ищутся) на некоторую область (точнее -- непонятно, что это за область будет). Помогите, пож-ста, разобраться.

[ИСН]

Я не вижу, как здесь применить эту формулу. Забейте на неё вообще. Цилиндр состоит из узких вертикальных полосочек, длина которых известна; отсюда и исходите.
(А так можно или цилиндр класть набок и резать пополам, или общую формулу переводить в цилиндрические координаты. И то, и другое омерзительно.)

[caxap]

ИСН в сообщении #338429 писал(а):

Цилиндр состоит из узких вертикальных полосочек, длина которых известна; отсюда и исходите.

Я так тоже думал. Предположим есть некоторая цилиндрическая поверхность. Обрузующей на плоскости будет кривая некая --- $l$. Площадь этой поверхности можно найти так: разбиваем $l$ на $dl$, высота каждой мы знаем --- $z(x,y)$. Т. е. $S=\int_l z(x,y)\,dl$. Так? Только вот проблемы, как теперь этот интеграл найти? Вроде бы это "криволинейный" интеграл, а я его не прохолдил ещё.
Это задача из Демидовича (1968), до криволинейных интегралов. Вначале, перед задачами, только одна формула, которую я писал.

[GAA]

Да, именно по указанной Вами формуле для площади цилиндрической поверхности

$$S = \int_{t_1}^{t_2} z(x(t), y(t)) \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2} dt,$$

где $x(t)$, $y(t)$ — параметрическое задание кривой, лежащей в основании цилиндра; точка означает дифференцирование по параметру.
(Эту формулу выводят в теме криволинейный интеграл первого рода, или получают как частный случай площади поверхности, заданной параметрически).

-- Сб 10.07.2010 18:22:52 --

В качестве параметра $t$, в данном случае, естественно выбрать полярный угол.

[caxap]

GAA
Ага. В первой вообще всё сладко получается. $x=R\cos\phi,y=R\sin\phi$ и ответ $4R^2(m-n)$ совпал с Демидовичем.

А можно ли как-нибудь решить, чтобы просто, но без крив. интегралов? Не обязательно по формуле, которая в первом сообщении, может как нибудь схитрить можно?

[ewert]

caxap в сообщении #338439 писал(а):

Не обязательно по формуле, которая в первом сообщении,

Но зато обязательно не по формуле, которая в первом сообщении. Та формула -- формально годится для каких угодно поверхностей, но уж только никак для "вертикальных" цилиндров. У Вас же -- именно они.

[GAA]

caxap

1. У меня нет под рукой старого издания (1968 г.). В более позднем 13-ом издании (1997 г., изд-во Моск. ун-та) в отделе VIII (Кратные и криволинейные интегралы) есть §4 (Вычисление площадей поверхностей) в котором для решения подобных задач предполагается использовать формулу для площади поверхности, заданной параметрически. Как я и писал выше, Вы можете воспользоваться этой формулой для вывода формулы для площади вертикальной цилиндрической поверхности.

2. Раньше тема площадь цилиндрической поверхности изучалась в теме однократный интеграл Римана: сразу после темы длина кривой и площадь поверхности вращения. Вполне возможно, что, в используемом Вами издании, эти задачи относятся к разделу Определенный интеграл. В этом случае Вам следует вывести формулу, которую я привел в своем сообщении выше. (Это, конечно, определенный интеграл, к которому сводится криволинейный, но к этому определенному интегралу можно прийти и не вводя понятие криволинейного интеграла первого рода.) В случае непреодолимых затруднения Вы можете обратиться ко второму тому книги
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (djvu).