Предел, теорема Штольца

[caxap]

Хочу найти $L=\lim\limits_{n\to \infty } \dfrac {n! \,e^n} {n^{n+1/2}}$, он равен $\sqrt{2\pi}$ (это формула Стирлинга). Я решал по теорема Штольца:
$L=\lim\limits_{n\to \infty } \dfrac {n!} {n^{n+1/2}\,/\,e^n}$
Так как $(n+1)!-n!=n!\, n$ и $\dfrac {n^{n+1/2+1}}{e^{n+1}}-\dfrac {n^{n+1/2}}{e^{n}}=\dfrac {n^{n+1/2}}{e^{n}}\left(\dfrac {n} {e^n}-1\right)$, то

$$L=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n!\, n}{\dfrac {n^{n+1/2}}{e^{n}}\left(\dfrac {n} {e^n}-1\right)}=L\cdot \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac n {\left(\dfrac {n} {e^n}-1\right)}=$$ $$=L\cdot \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac {n\, e^n}{n-e^n}=L\cdot \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac {n\, e^n}{-e^n}=L\cdot (-\infty)=-\infty.$$

Где у меня ошибка? Я проверил последний предел $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac {n\, e^n}{n-e^n}$ также в Mathematica, он тоже говорит $-\infty$. Т. е. я накосячил где-то применении самой теор. Штольца.

[neo66]

$\dfrac {(n+1)^{n+1/2+1}}{e^{n+1}}-\dfrac {n^{n+1/2}}{e^{n}}$

[caxap]

спасибо.

[ewert]

не очень вообще понятно, как можно вытащить теоремой Штольца что-то, хоть немного напоминающее корень из пи

[caxap]

а из чего можно?

[ewert]

Стандартно формула Стирлинга доказывается методом Лапласа:

$$n!=\int\limits_0^{+\infty}e^{-x}x^ndx=n^{n+1}\int\limits_0^{+\infty}e^{-nt}t^ndt=n^{n+1}\int\limits_0^{+\infty}e^{-n(t-\ln t)}dt\sim n^{n+1}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-n-{n\over2}(t-1)^2}dt,$$

а последний -- это уже интеграл Пуассона, т.е. получается $n^{n+1}\cdot e^{-n}\cdot\sqrt{2\over n}\cdot\sqrt{\pi}$. (Последний переход в той цепочке -- просто формула Тейлора в показателе, это легко обосновывается.)

[RIP]

Можно ещё из формулы Валлиса вытащить (если не ошибаюсь, есть такое упражнение в Демидовиче).

[ewert]

можно, только поди ещё саму формулу Валлиса вытащи, а тут всё прозрачно

[maikle]

Цитата:

также в Mathematica

Интересно, когда эта программа не ошибалась...