УЧП 2го порядка

[Gortaur]

Подскажите, как привести к каноническому виду уравнение

$$ \sigma_1^2(x_1)\varphi_{11}+2\sigma_1(x_1)\sigma_2(x_2)\varphi_{12}+\sigma_2^2(x_2)\varphi_{22}+2\mu_1(x_1)\varphi_1+2\mu_2(x_2)\varphi_2 = 0, $$

где $\varphi_{ij} = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_i \partial x_j}$ и $\varphi_{i} = \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}$.

Было бы здорово, если бы написали замену.

[terminator-II]

методом характеристик.
Приравняем к нулю сумму членов содержащих только производные второго порядка и выполним подстановку:

$$\frac{\partial}{\partial x_1}\mapsto dx_2,\quad \frac{\partial}{\partial x_2}\mapsto -dx_1$$

т.е.

$$\sigma_1^2(x_1)dx_2^2-2\sigma_1(x_1)\sigma_2(x_2)dx_1dx_2+\sigma_2^2(x_2)dx_1^2=0$$

Полученное ОДУ и будет уравнением характеристик. Первые интегралы этого ОДУ задают замену переменых после которой уравнение приобретает канонический вид

[Gortaur]

В итоге получилось, что

$$ (\sigma_1(x_1)dx_2 - \sigma_2(x_2)dx_1)^2=0. $$

Это значит, что корни кратные и дело плохо (т.е. ур-е будет параболическим, а не эллиптическим)