2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 УЧП 2го порядка
Сообщение10.07.2010, 10:15 


26/12/08
1813
Лейден
Подскажите, как привести к каноническому виду уравнение
$$
\sigma_1^2(x_1)\varphi_{11}+2\sigma_1(x_1)\sigma_2(x_2)\varphi_{12}+\sigma_2^2(x_2)\varphi_{22}+2\mu_1(x_1)\varphi_1+2\mu_2(x_2)\varphi_2 = 0,
$$
где $\varphi_{ij} = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_i \partial x_j}$ и $\varphi_{i} = \frac{\partial\varphi}{\partial x_i}$.

Было бы здорово, если бы написали замену.

 Профиль  
                  
 
 Re: УЧП 2го порядка
Сообщение10.07.2010, 10:39 


20/04/09
1067
методом характеристик.
Приравняем к нулю сумму членов содержащих только производные второго порядка и выполним подстановку:
$$\frac{\partial}{\partial x_1}\mapsto dx_2,\quad \frac{\partial}{\partial x_2}\mapsto -dx_1$$
т.е.
$$\sigma_1^2(x_1)dx_2^2-2\sigma_1(x_1)\sigma_2(x_2)dx_1dx_2+\sigma_2^2(x_2)dx_1^2=0$$
Полученное ОДУ и будет уравнением характеристик. Первые интегралы этого ОДУ задают замену переменых после которой уравнение приобретает канонический вид

 Профиль  
                  
 
 Re: УЧП 2го порядка
Сообщение11.07.2010, 12:30 


26/12/08
1813
Лейден
В итоге получилось, что
$$
(\sigma_1(x_1)dx_2 - \sigma_2(x_2)dx_1)^2=0.
$$
Это значит, что корни кратные и дело плохо (т.е. ур-е будет параболическим, а не эллиптическим)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group