Элементарные делители матрицы f(A)

[antondm]

В общем потерял мысль в тексте при чтении Гантмахера " Теория матриц". Помогите восстановить, а то без мысли читается плохо.
Сабж глава в книге параграф 7 гл. 6. пункт 2.
Там такая
Теорема 7.
Дефект матрицы $f(A)$, где матрица A имеет элементарные делители
$ (\lambda-\lambda_1)^{p_1}\mbox{,}(\lambda-\lambda_2)^{p_2}\mbox{,}\ldots\mbox{,}(\lambda-\lambda_u)^{p_u} $
определяется формулой

$ d = \sum\limits_{i=1}^{u}min(k_i,p_i)\mbox{;} $
здесь $k_i\mbox{- кратность $\lambda_i$ как корня $f(\lambda)$.} $

Далее он определеяет все эелментарные делители матрицы A соответствующие характеристическому числу $\lambda_0$и тут чего-то мысль запутывается.
Он пишет:
$ \underbrace{(\lambda-\lambda_0)\mbox{,}\ldots\mbox{,}(\lambda-\lambda_0)}_{g_1}\mbox{;} \underbrace{(\lambda-\lambda_0)^2\mbox{,}\ldots\mbox{,}(\lambda-\lambda_0)^2}_{g_2}\mbox{;} \ldots\mbox{;} \underbrace{(\lambda-\lambda_0)^m\mbox{,}\ldots\mbox{,}(\lambda-\lambda_0)^m}_{g_m}\mbox{;} \mbox{элементарные делители} $
Как я понял, двоеточием разделяются жордановы клетки. Или же соответствующие этим клеткам инвариантные многочлены. (наверно здесь я тоже ошибаюсь - интуиция).
Здесь не понятно почему элементарные делители будут выглядеть именно так. Вот хотя бы для начала поясните мне пожалуйста это.

[antondm]

В общем тут все запуталось. Сижу смотрю на символы и чего-то ничего в голову не лезет.
Думаю так: матрицу $\|\lambda E-A\|$ с помощью элементарных преобразований можно свести к диагональной, на главной диагонали которой стоит r инвариантных многочленов, те матрицу такого вида:
$ \begin{pmatrix} i_r(\lambda) & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 0 & i_{r-1}(\lambda) & \ldots & 0 & 0 & 0\\ \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & i_{1}(\lambda) & 0 & 0\\ \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $
$i_r(\lambda)\mbox{-инвариантный многочлен}$.
Вот все приведено к такому виду. А так привести можно любую многочленную матрицу (есть теорема такая). Теперь если разложить на простые множители каждый инвариантный многочлен, то и получится, что для каждого инвариантного многочлена множитель $(\lambda - \lambda_i)^{k_i)$ может входить в разные инвариантные многочлены с разными показателями $k_i$.
Выше он ставит задачу: найти все элементарные делители матрицы $A = \|a_{ik}\|^n_1$ соответствующие характеристическому числу $\lambda_0$. И вот дальше его идея мне не понятна. Те что он делает может кто-нибудь на пальцах объяснить?

-- Чт июл 01, 2010 11:28:57 --

Терпения нет!!! Сейчас лопнет. Помогите пожалуйста.

[antondm]

Может быть я что-то не так описал? Может что-то не ясно?

[antondm]

Так хорошо!
Ниже там условия такие, что известны дефекты
$ d_1\mbox{,}d_2\mbox{,}\ldots\mbox{,}d_{m} \mbox{ матриц } A-\lambda_0E\mbox{,}(A-\lambda_0E)^2\mbox{,}\ldots\mbox{,}(A-\lambda_0E)^m $
И из всех этих условий получают используя теорему 7 такую систему:
$ \begin{multiline} g_1+g_2+g_3+\ldots+g_m = d_1\mbox{,}\\ g_1+2g_2+2g_3+\ldots+2g_m = d_2\mbox{,}\\ g_1+2g_2+3g_3+\ldots+3g_m = d_3\mbox{,}\\ \ldots\mbox{,}\\ g_1+2g_2+3g_3+\ldots+mg_m = d_m\\ \end{multiline} $
Не совсем ясно как она получается. Наверно я чего-то не понял при изучении.
Я так понял что в каждом инвариантном многочлене должен быть множитель
$i_k(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^{j_{k}}s_k(\lambda)$
Ну и раз уж у нас есть разложение со степенями $g_1\mbox{,}2g_2\mbox{,}\ldots\mbox{,}mg_{m}$
то наверно, например, первую строчку я бы написал так:
$g_1+2g_2+3g_3+\ldots+mg_m = d_1$
Ну и при возведении в квадрат получим удвоение, те:
$2g_1+4g_2+6g_3+\ldots+2mg_m = d_1$
В общем не понимаю что и откуда тут берется. Помогите пожалуйста разобраться.

[ewert]

Видите ли, "Составлять много книг - конца не будет, и много читать - утомительно для тела" $\copyright$. Гантмахер -- уважаемый товарищ, но пытаться разобраться именно по нему именно в жордановом представлении -- вот именно утомительно. Уж чересчур занудна у него эта теория, и чересчур уж замаскирована всякими побочными конструкциями, не имеющими прямого отношения к делу.

[antondm]

Ну возможно кое что и есть лишнее, даже при первом прочтении 150 страниц. Но именно то как он показал как строится структура Жордановой формы на основе инвариантных многочленов, я считаю заслуживает 5+ баллов. Например, когда нам в первый раз попытались объяснить структуру жордановой формы мне было не ясно, почему одно и тоже собственное значение может лежать в нескольких клетках!!! А ведь если бы показали нам, как это сделал Гантмахер, что при приведении характеристической матрицы к диагональному виду с помощью элементарных преобразований, может получиться, что $(\lambda-\lambda_i)^{j_i}$ может входить в несколько инвариантных многочленов, то это было бы очевидно для всех студентов почему так может получится.

Но вот Главу функции матриц я просто пролистал, тк мне она пока не интересна. А вот эта глава именно с точки зрения построения очень интересна потому как хорошо объясняет многое. Единственное что этот вот момент как-то очень неточно объяснен.Нет примера, да и вообще как-то туманно все. Если кто поможет, наверно на вики выложу с примерами кое что.

[mkot]

antondm в сообщении #336982 писал(а):

Так хорошо!
Ниже там условия такие, что известны дефекты
$ d_1\mbox{,}d_2\mbox{,}\ldots\mbox{,}d_{m} \mbox{ матриц } A-\lambda_0E\mbox{,}(A-\lambda_0E)^2\mbox{,}\ldots\mbox{,}(A-\lambda_0E)^m $
И из всех этих условий получают используя теорему 7 такую систему:
$ \begin{multiline} g_1+g_2+g_3+\ldots+g_m = d_1\mbox{,}\\ g_1+2g_2+2g_3+\ldots+2g_m = d_2\mbox{,}\\ g_1+2g_2+3g_3+\ldots+3g_m = d_3\mbox{,}\\ \ldots\mbox{,}\\ g_1+2g_2+3g_3+\ldots+mg_m = d_m\\ \end{multiline} $
Не совсем ясно как она получается. Наверно я чего-то не понял при изучении.
Я так понял что в каждом инвариантном многочлене должен быть множитель
$i_k(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^{j_{k}}s_k(\lambda)$
Ну и раз уж у нас есть разложение со степенями $g_1\mbox{,}2g_2\mbox{,}\ldots\mbox{,}mg_{m}$
то наверно, например, первую строчку я бы написал так:
$g_1+2g_2+3g_3+\ldots+mg_m = d_1$
Ну и при возведении в квадрат получим удвоение, те:
$2g_1+4g_2+6g_3+\ldots+2mg_m = d_1$
В общем не понимаю что и откуда тут берется. Помогите пожалуйста разобраться.

Всё очень просто берётся из формулы про дефект.
Смотрите, мы знаем как считать дефект для $f(A)$.
Поэтому мы рассматриваем набор следующих функций
$f_1(\lambda) = (\lambda - \lambda_0)$,
$f_2(\lambda) = (\lambda - \lambda_0)^2$,
$f_3(\lambda) = (\lambda - \lambda_0)^3$
и т. д.
Для них записываем формулу для дефекта. При этом так как для других собственных значений кратность их в многочленах $f_t$ равна 0, а мы берём минимум из этой кратности и ещё одного числа, то эти минимумы равны нулю, и их можно даже не выписывать.
для числа же $\lambda_0$ кратность в многочлене $f_t$ очевидно равна $t$.
поэтому формулы для дефектов примут вид
$d_1 = \min(p_{i_1}, 1) + \min(p_{i_2}, 1) + \min(p_{i_3}, 1) + \ldots$.
$d_2 = \min(p_{i_1}, 2) + \min(p_{i_2}, 2) + \min(p_{i_3}, 2) + \ldots$.
$d_3 = \min(p_{i_1}, 3) + \min(p_{i_2}, 3) + \min(p_{i_3}, 3) + \ldots$.
Теперь аккуратно смотрите на ряд:
$\underbrace{(\lambda-\lambda_0),\ldots,(\lambda-\lambda_0)}_{g_1}; \underbrace{(\lambda-\lambda_0)^2,\ldots,(\lambda-\lambda_0)^2}_{g_2};\ldots;\underbrace{(\lambda-\lambda_0)^m,\ldots,(\lambda-\lambda_0)^m}_{g_m}$
И подставляете степени в формулы для $d_i$.
Ясно, что в $d_1$ все минимумы обратятся в 1 и поэтому, останется просто сумма $g_1+g_2+\ldots$.
В выражение для $d_2$ делители первой степени обратят минимумы в 1, остальные же в 2. и т. д. и получаем данную систему.

-- Вс июл 04, 2010 14:02:33 --

ewert в сообщении #337049 писал(а):

Видите ли, "Составлять много книг - конца не будет, и много читать - утомительно для тела" $\copyright$. Гантмахер -- уважаемый товарищ, но пытаться разобраться именно по нему именно в жордановом представлении -- вот именно утомительно. Уж чересчур занудна у него эта теория, и чересчур уж замаскирована всякими побочными конструкциями, не имеющими прямого отношения к делу.

antondm в сообщении #337120 писал(а):

Ну возможно кое что и есть лишнее, даже при первом прочтении 150 страниц. Но именно то как он показал как строится структура Жордановой формы на основе инвариантных многочленов, я считаю заслуживает 5+ баллов. Например, когда нам в первый раз попытались объяснить структуру жордановой формы мне было не ясно, почему одно и тоже собственное значение может лежать в нескольких клетках!!! А ведь если бы показали нам, как это сделал Гантмахер, что при приведении характеристической матрицы к диагональному виду с помощью элементарных преобразований, может получиться, что $(\lambda-\lambda_i)^{j_i}$ может входить в несколько инвариантных многочленов, то это было бы очевидно для всех студентов почему так может получится.

Но вот Главу функции матриц я просто пролистал, тк мне она пока не интересна. А вот эта глава именно с точки зрения построения очень интересна потому как хорошо объясняет многое. Единственное что этот вот момент как-то очень неточно объяснен.Нет примера, да и вообще как-то туманно все. Если кто поможет, наверно на вики выложу с примерами кое что.

(1) Гантмахер на мой взгляд, да, как-то очень витееват, я несколько раз его открывал и потом сразу же закрывал.
(2) Для изучения всей этой теории (т. е. матриц, линала), порекомендую мою настольную книгу: Мальцев "Основы линейной алгебры". Читается на одном дыхании.
(3) В настоящее время, почти всюду, хотя я могу ошибаться, жорданова форма выводится из рассмотрения корневых подпространств, ядер линейного оператора. Возможно и правильно, так как в этом случае очень хорошо видна структура оператора.

(Оффтоп)

А я со вчерашнего для дипломированный специалист.

[ewert]

antondm в сообщении #337120 писал(а):

Например, когда нам в первый раз попытались объяснить структуру жордановой формы мне было не ясно, почему одно и тоже собственное значение может лежать в нескольких клетках!!!

Вывод жордановой формы непрост в любом варианте. Но вот если знать, что жорданово представление возможно, то подобного рода вопросы становятся почти очевидными. В частности, очевидно, что две нетривиальных жордановых клетки невозможно слить в одну: каждый из двух собственных векторов тянет за собой некоторую цепочку присоединённых, а если бы такое слияние удалось -- некоторая комбинация этих двух векторов не порождала бы ни одного присоединённого; так не бывает.

antondm в сообщении #337120 писал(а):

Главу функции матриц я просто пролистал, тк мне она пока не интересна.

Там, на мой взгляд, не очень удачно выбрана исходная точка. Непонятно зачем в качестве функции выбран интерполяционный многочлен, да ещё и с кратными (заранее непонятно зачем) узлами. Гораздо естественнее было бы исходить из аналитических функций, т.е. раскладывающихся в степенной ряд. Для них функция от матрицы определяется в некотором смысле вынужденным образом -- вот как тот самый ряд. Формально -- ряд, а фактически, конечно -- многочлен, вот как раз теми явными формулами для жордановых клеток и описываемый, это получается довольно легко. Ну а потом уж можно и выяснить, что этот многочлен оказывается заодно и интерполяционным.

[мат-ламер]

Цитата:

Но вот Главу функции матриц я просто пролистал, тк мне она пока не интересна.

Как вычислять экспоненту от матрицы надо знать - пригодится.

Цитата:

Единственное что этот вот момент как-то очень неточно объяснен.Нет примера, да и вообще как-то туманно все.

В таком случае надо самому сочинить пример и на нём разбираться, что происходит.