Sin(n)

[ShMaxG]

Понимаю, что баян.

Никак не могу понять, почему множество$ \[\left\{ {\sin n} \right\}\left| {_{n = 1}^\infty } \right.\]$ всюду плотно на $[-1;1]$.

Представляю $\[n = 2\pi k + r\]$, $\[k \in {\mathbb{N}_0},0 < r < 2\pi \]$. И не понятно, почему при больших $n$ всегда можно добиться того, что, например, $r$ близко к $\pi/2$ и т.д. Давно бьюсь над этим, но ничего не придумывается.

Посвятите, пожалуйста

[AKM]

Voilà ля-ля на эту тему.

[ShMaxG]

Хм, искал по формулам, такой темы не находил.

Теорема Дирихле о диофантовых приближениях, значит. Спасибо

[AKM]

Я искал по "всюду плотно".

[Cave]

Ещё вот: topic29976.html

[Mathusic]

А будет ли эта последовательность равномерно распределена по $\pmod 1$?

[ИСН]

По отрезку? Нет, разумеется: с краёв будет гуще.

[Mathusic]

[Давайте иметь в виду по отрезку $[-1,1]$]
Как это обосновать?

[terminator-II]

ShMaxG в сообщении #336645 писал(а):

Понимаю, что баян.

Никак не могу понять, почему множество$ \[\left\{ {\sin n} \right\}\left| {_{n = 1}^\infty } \right.\]$ всюду плотно на $[-1;1]$.

Представляю $\[n = 2\pi k + r\]$, $\[k \in {\mathbb{N}_0},0 < r < 2\pi \]$. И не понятно, почему при больших $n$ всегда можно добиться того, что, например, $r$ близко к $\pi/2$ и т.д. Давно бьюсь над этим, но ничего не придумывается.

Посвятите, пожалуйста

Mножество $\{n\pmod{2\pi}|n\in\mathbb{Z}\}$ плотно на отрезке $[0,2\pi]$.
Поскольку $\sin:[0,2\pi]\to[-1,1]$ является непрерывным отображением "на", получаем требуемое.

Что касаетсся "гуще" и "равномерно" : отображение $[0,2\pi]\ni x\mapsto x+1\pmod{2\pi}$ эргодично относительно стандартной меры