ЕГЭ C5

[srider0000]

Здравствуйте!
Знакомый сдавал егэ по математике в резервный день (21 июня), и там было такое задание:

Найти все значения параметра $a$, при которых любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с графиком функции $f(x)=(3a+2)x-(x-1)|x-a|$ нечётное число точек пересечения.

Так вот, знакомый говорит, что решил задачу и получил ответ, что таких $a$ нет. Но ему почему-то поставили 0 баллов.
Я сам порешал, так вроде верный ответ. Исследуя взаимное положение парабол, получающихся при раскрытии модуля, при различных $a$ на графике функции всегда есть 2 точки $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$, что прямые $y=y_1$ и $y=y_2$ имеют с графиком функции 2 точки прересечения.
Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так

[ShMaxG]

Например при $a=-2$ пересечение всегда одно.

[meduza]

srider0000 в сообщении #336402 писал(а):

что таких $a$ нет

А если $a=-3/2$?

[ShMaxG]

Задача сводится к исследованию количества решений системы уравнений (для случая $a=-2$):

$\[\left\{ \begin{gathered} {x^2} - 3x - 2 - c = 0,x < - 2 \hfill \\ {x^2} + 5x - 2 + c = 0,x \geqslant - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

Очевидно, что для каждой строчки этой системы если решение есть, то оно единственно, условие того, что решений два:

$\[\left\{ \begin{gathered} - \sqrt {17 + 4c} < - 7 \hfill \\ \sqrt {33 - 4c} \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

Решений этой штуки - нет.

Ну и, я так понимаю, в общем случае все так и решается. Может заметить еще чего надо.

[gris]

При $a=-2/3$ прямая $y=0$ пересекает в 2 точках. Или у меня опять что-то не то?

[ShMaxG]

gris в сообщении #336411 писал(а):

При $a=-2/3$ прямая $y=0$ пересекает в 2 точках. Или у меня опять что-то не то?

А, и правда, два корня. Тогда это я налажал. Я поправил выше.

[gris]

..

[ShMaxG]

Случай $a>0$ исследуется просто. Достаточно найти минимум и максимум вот этих двух ветвей, чтобы сделать вывод, что есть прямая, которая пересекает в двух точках. (проходит через минимум одной из функций)

[meduza]

Из расположения экстремумов можно многое извлечь. Например, из

$$\begin{cases}x_{max} \leqslant a\\x_{min} \geqslant a\end{cases} \iff\quad a \leqslant -\frac 3 2,$$

(где $x_{min}$, $x_{max}$ -- минимум левой и максимум правой параболы) определяются случаи, когда будет одно пересечение.

[Mathusic]

Пусть при данном $a$ условие задачи выполнено, тогда ур-е $f(x)=3a+2+C$ имеет нечётное число решений при любом $C$, а значит и уравнение $(x-1)((3a-2)-|x-a|)=C$.
Теперь осталось рассмотреть пересечения уголка и семейства гипербол (при $C=0$ потом отдельно отсеите). Учтите, что вершина уголка движется тоже по определённой прямой.

[ewert]

srider0000 в сообщении #336402 писал(а):

, при которых любая прямая, перпендикулярная оси ординат,

Ну что за пижонство. Сказали бы прямым текстом -- "любая горизонтальная прямая". Я недоволен, и искренне выражаю своё недовольство столь бессмысленными фразеологическими оборотами.

А идея задачки вот в чём. График функции -- это две состыкованные параболы. Достаточно очевидно: все возможные количества пересечений нечётны тогда и только тогда, когда количество таких пересечений на любом уровне в точности равно единице. Т.е. когда функция монотонна. Т.е. когда для правее точки $x=a$ вершина соотв. параболы лежит левее этой точки, и наоборот. А для вершины параболы есть явная формула, т.е. получаем некую систему простеньких неравенств на параметр, и т.д. (д. не смотрел, лень).

[srider0000]

Честно говоря, я не совсем понимаю ваши решения.
Вот как я решал:
После раскрытия модуля получаем
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} -x^2+(4a+3)x-a, x\geqslant a\\ x^2+(2a+1)x+a, x<a \end{array} \right. $
Каждая из этих парабол имеет по 2 точки пересечения с ось $Ox$, а между собой они пересекаются 2 или 1 раз, причём один раз они пересекаются при $a=1$ в точке $x=1$ (в этом случае условие задачи не выполняется) и два раза в точках $x=1$ и $x=a$.
А условие задачи выполнится только тогда, когда оси симметрий этих парабол совпадают и максимум параболы с ветвями, направленными вниз, равен минимуму параболы с ветвями, направленными вверх.
Ну и получается, что система, составленная из этих условий не имеет решений.

[meduza]

srider0000 в сообщении #336588 писал(а):

А условие задачи выполнится только тогда, когда оси симметрий этих парабол совпадают и максимум параболы с ветвями, направленными вниз, равен минимуму параболы с ветвями, направленными вверх.

Не обязательно строго равен: а если минимум левой параболы сместится вправо, а максимум правой -- влево (например, при $a=-2$)? См. последний пост ewert или предпоследний мой.

А оси симметрии тут ни при чём.

[Sasha2]

Действительно, как правильно заметил уважаемый ewert, если мы отгоним $x$ на минус бесконечность, то получим вот такую параболу: $(3a+2)x+(x-1)(x-a)$ (с рогами вверх). Если мы отгоним $x$ на плюс бесконечность, то получим вот такую параболу: $(3a+2)x-(x-1)(x-a)$ (с рогами вниз). Осталось совместить вершины этих двух парабол, вспомнив, что любой квадратный трехчлен $ax^2+bx+c$ достигает своего натбольшего (наименьшего значения) в точке $-\frac{b}{2a}$, которое равно $c-\frac{b^2}{4a}$.
Осталось раскрыть скобки, найти все эти $a,b,c$ для этих двух парабол и решить несложное уравнение.

Кстати, я тоже присоединяюсь к ewert, по поводу плохой формулировки.
Не очень хорошо, когда при решении приходится иметь дело с квадратным трехчленом, обозначать параметр буквой $a$. Лучше использовать нейтральную букву $p$. Для взрослых это пофигу, а детей нечего нервировать.

[srider0000]

Всем спасибо, понял свою ошибку!
Но это, наверное, самое сложное задание С5, которое я видел. Другие задания с параметром были намного проще.