Про замкнутость относительно дополнения Вы правы, это следует из построения, так как дополнение множества первого типа является множеством второго типа и наоборот.
Вы также правы, что если взять не более чем счетное объединение множеств, каждое из которых не более чем счетно, то и результат будет не более чем счетным.
Но последнее доказательство не годится, так как Вы ссылаетесь на то, что пересечение множеств принадлежит сигма-алгебре, но это еще не доказано.
На самом деле тут все довольно просто. Пусть в неборе множеств

, которые мы объединяем, есть
хотя бы одно множество второго типа. Без ограничения общности полагаем, что это

. Рассмотрим дополнение до интересующего нас множества:

. Множество

не более чем счетно, а значит, и

не более чем счетно
независимо от свойств остальных множеств 
(так как

есть подмножество

). Значит,

есть множество первого типа, а интересующее нас его дополнение - множество второго типа.
Так мы рассмотрели все возможные объединения. Замкнутость относительно пересечений теперь выводится так, как Вы показали, с помощью объединений и дополнений.