сигма-алгебра на прямой, порожденная точками

[PAV]

Такие множества, что их дополнения состоят из не более чем счетного числа точек. Например, множество всех иррациональных чисел или множество всех нецелых чисел или $\mathbb{R}\backslash\{a\}$

[derzki]

PAV писал(а):

Такие множества, что их дополнения состоят из не более чем счетного числа точек. Например, множество всех иррациональных чисел или множество всех нецелых чисел или $\mathbb{R}\backslash\{a\}$

т.е. подрезюмировать можно так: для того чтобы некоторое подмножество $E \in \mathbb{R}$ было элементом такой сигма алгебры, необходимо и достаточно чтобы оно было либо как максимум счетным, либо дополнением до как максимум счетного множества.

[PAV]

Ну да (только нужно писать $E\subset\mathbb{R}$)

Только нужно доказать, что таким образом заданная система множеств действительно является сигма-алгеброй, т.е. наши операции не выводят нас за ее пределы. А то может быть туда еще что-то надо добавить.

[derzki]

PAV писал(а):

Ну да (только нужно писать $E\subset\mathbb{R}$)

Только нужно доказать, что таким образом заданная система множеств действительно является сигма-алгеброй, т.е. наши операции не выводят нас за ее пределы. А то может быть туда еще что-то надо добавить.

Наверное, можно привести такой агрумент: поскольку множества 1-ого и 2-ого типов являются очевидно (это ведь очевидно?) дополнениями до друг друга, то $\sigma$ алгебра оказывается заведомо замкнутой относительно дополнений. Что касается счетных объединений, то нужно заметить что счетное объединение (равно как и пересечение) как максимум счетных множеств само является таковым. Поэтому для любой последовательности множеств первого типа пересечение и объединение (как максимум счетное) ее элементов есть тоже как максимум счетное множество. Если же в последовательности есть множества второго типа, то можно применить такой прием: $\cup \limits_{i=1}^{\infty} Y_i = \cup \limits_{i=1}^{\infty} (\mathbb{R}\backslash X_i) = \mathbb{R}\backslash \cap \limits_{i=1}^{\infty} X_i$. Как было выше сказано $\cap \limits_{i=1}^{\infty} X_i \subset \sigma$-алгебры. И следовательно $\mathbb{R}\backslash \cap \limits_{i=1}^{\infty} X_i \subset \sigma$-алгебры. И если в последовательности элементов сигма алгебры встречаются множества второго типа то их объединение можно так переписать и воспользоваться тем что операция $\cup$ ассоциативна.
Немного длинно получается. Может как-то проще это можно записать?

Спасибо

[PAV]

Про замкнутость относительно дополнения Вы правы, это следует из построения, так как дополнение множества первого типа является множеством второго типа и наоборот.

Вы также правы, что если взять не более чем счетное объединение множеств, каждое из которых не более чем счетно, то и результат будет не более чем счетным.

Но последнее доказательство не годится, так как Вы ссылаетесь на то, что пересечение множеств принадлежит сигма-алгебре, но это еще не доказано.

На самом деле тут все довольно просто. Пусть в неборе множеств $Y_i$, которые мы объединяем, есть хотя бы одно множество второго типа. Без ограничения общности полагаем, что это $Y_1$. Рассмотрим дополнение до интересующего нас множества:
$A = R\backslash \cup Y_i = \cap_i (R\backslash Y_i)$. Множество $R\backslash Y_1$ не более чем счетно, а значит, и $A$ не более чем счетно независимо от свойств остальных множеств $Y_i$ (так как $A$ есть подмножество $R\backslash Y_1$). Значит, $A$ есть множество первого типа, а интересующее нас его дополнение - множество второго типа.

Так мы рассмотрели все возможные объединения. Замкнутость относительно пересечений теперь выводится так, как Вы показали, с помощью объединений и дополнений.

[derzki]

PAV писал(а):

Про замкнутость относительно дополнения Вы правы, это следует из построения, так как дополнение множества первого типа является множеством второго типа и наоборот.

Вы также правы, что если взять не более чем счетное объединение множеств, каждое из которых не более чем счетно, то и результат будет не более чем счетным.

Но последнее доказательство не годится, так как Вы ссылаетесь на то, что пересечение множеств принадлежит сигма-алгебре, но это еще не доказано.

На самом деле тут все довольно просто. Пусть в неборе множеств $Y_i$, которые мы объединяем, есть хотя бы одно множество второго типа. Без ограничения общности полагаем, что это $Y_1$. Рассмотрим дополнение до интересующего нас множества:
$A = R\backslash \cup Y_i = \cap_i (R\backslash Y_i)$. Множество $R\backslash Y_1$ не более чем счетно, а значит, и $A$ не более чем счетно независимо от свойств остальных множеств $Y_i$ (так как $A$ есть подмножество $R\backslash Y_1$). Значит, $A$ есть множество первого типа, а интересующее нас его дополнение - множество второго типа.

Так мы рассмотрели все возможные объединения. Замкнутость относительно пересечений теперь выводится так, как Вы показали, с помощью объединений и дополнений.

Спасибо. Замкнутость относительно пересечений наверное не нужно показывать? Это не входит в определение сигма алгебры, а является следствием принципа дуальности - т.е. что любое утверждение для объединений может быть сформулировано для пересечений и наоборот.

[PAV]

Определения сигма-алгебры можно давать по-разному. По сути, замкнутость относительно пересечений туда входит.

"Принцип дуальности" так, как Вы его сформулировали, носит слишком общий и расплывчатый характер. Если бы у нас не было показано замкнутость относительно дополнений, то ничего бы не получилось.

Мы же пользуемся конкретными формулами связи между этими операциями через дополнение.

[derzki]

PAV писал(а):

Определения сигма-алгебры можно давать по-разному. По сути, замкнутость относительно пересечений туда входит.

"Принцип дуальности" так, как Вы его сформулировали, носит слишком общий и расплывчатый характер. Если бы у нас не было показано замкнутость относительно дополнений, то ничего бы не получилось.

Мы же пользуемся конкретными формулами связи между этими операциями через дополнение.

Просто я пользуюсь определением где говорится что сигма алгебра является таковой если она замкнута относительно дополнений и счетных объединений. Входит туда или не входит замкнутость относительно пересечений - не имеет значения в свете такого определения для установления что некоторое множество множеств является сигма алгеброй или нет. Или такое определение не является полным? Я пытаюсь понять почему нужно проверять замкнутость относительно пересечений.

[PAV]

Не нужно. Просто определния можно давать по-разному. Если определить сигма-алгебру как систему, замкнутую относительно дополнений и счетных пересечений, то это будет эквивалентное определение.