функция Грина для оператора Лапласа (ТФКП)

[Таня Тайс]

Здравствуйте! Помогите мне решить одну учебную задачу, пожалуйста!
Сначала приведу полное условие задачи:
_________________________________________________
В области $D$ задана голоморфная функция $f$ и функция Грина $g(z,z_0, D)=-\ln |f(z)|$ с полюсом в точке $z_0$. (значит $f(z_0)=0$)
Следует ли из условий, что $D$ односвязно?
Что можно сказать о $D$ , если функция Грина $g(z,z_0,D)=-\frac{1}{n}\ln |f(z)|$ для $n \in \mathbb{N}, n\geqslant 2$?
_________________________________________________
Ответ на второй вопрос не знает даже мой проф.

К вопросу об односвязности: любую односвязную область можно конформно отобразить на единичный шар $h \colon D \to \mathbb{D}, \; h(z_0)=0$ и таким образом найти его функцию Грина $g(z,z_0,D)=-\ln |h(z)|$. Функция Грина однозначно определена, поэтому должно быть $h\equiv f$.

Я понимаю, что здесь нарушена логика: надо предполагать, что $D$ не односвязно. Ума не приложу, что дальше? Контрпример?

[Евгеша]

Может я туплю, но что нам мешает в качестве D взять любую многосвязную область, содержащую $z_0$?

[Таня Тайс]

Евгеша
...ничего не мешает, но тогда надо сконструировать контрпример! Т.е. Вы считаете, что ответ на первый вопрос - нет!?

[Евгеша]

Таня Тайс
Ну да. Взять, например, проколотую окрестность какой-либо точки, отличной от $z_0$.

[Таня Тайс]

Центр проколотой окрестности должен тогда быть устранимой точкой, иначе не выполяются условия :
1.) Функция Грина - гармоническая в окрестности $z_0$.
2.) $g(z,z_0,D)=-\ln |z-z_0| + u(z)$, где $u(z)$ - гармоническая функция.

Может, стоило начать так: $g(z,z_0,D)=-\ln |z-z_0| + u(z)=-\ln |f(z)|$
$\Rightarrow -\ln |\frac{f(z)}{ z-z_0 }|= u(z)$, $u(z)$ решает задачу Дирихле в области $D, \; u(z)=0 \; \forall z\in \partial D$. Пока всё правильно?


Что-то мне подсказывает, что здесь не может быть контрпримера, но сформулировать не могу!
Кажется, для многосвязных областей логарифм будет многозначной функцией... Опять -таки для модуля всё равно...

[Евгеша]

А это не следует из теоремы сущестования и единственности решения задачи Дирихле?

[Таня Тайс]

Если не рассматривать вырожденный случай с проколотой окрестностью, то самой простой двухсвязной областью, которую я знаю, является кольцо с внешним радиусом $\frac{1}{r}$ и внутренним радиусом $r$ : $R=\{z \colon r<|z|<\frac{1}{r}\}$. Для этой области функция Грина выглядит так:
$g(z,a,R)=-\ln|\Phi (z)| + \frac{\ln(ar)}{2\ln (r) }\ln\frac{|z|}{r}$
где $a\in \mathbb{R}\cap R , a>0$,
$ \Phi (z) =\dfrac{(1-\frac{z}{a} )\prod (1-\frac{ar^{4n}}{z})(1-\frac{zr^{4n}}{a})}{\prod (1-azr^{4n-2})(1-\frac{1}{az}r^{4n-2})}$

То есть такой связи $g(z,a,D)=-\ln |f(z)|$ нет.
Вроде как этого и достаточно, т.к. любую двухсвязную область можно конформно отобразить на кольцо с внутренним радиусом $r$ и внешним $1$, но чёткого понимания нет. Может кто-нибудь это рассуждение проверить? Спасибо!

-- Вс июн 27, 2010 23:11:25 --

Евгеша
Единственность решения задачи Дирихле следует из принципа максимума, то есть верно только для ограниченных областей.
Например, верхняя полуплоскость $\mathbb{H}=\{z \colon Im (z )> 0\}$
Задача Дирихле $u(z)=0 \; \forall z \in \mathbb{R}$
имеет два решения: $u(z)= Im(z)$ и $u(z)\equiv 0$ .
Ну конечно, для единственности не хватает краевого условия в точке $\infty$. В-общем, получилась каша

[Евгеша]

Таня Тайс
Для общей задачи Дирихле это верно и для неограниченных областей

Таня Тайс в сообщении #335773 писал(а):

Вроде как этого и достаточно, т.к. любую двухсвязную область можно конформно отобразить на кольцо с внутренним радиусом $r$ и внешним $1$, но чёткого понимания нет. Может кто-нибудь это рассуждение проверить? Спасибо!

По крайней мере, уравнение Лапласа инвариантно относительно конформных отображений

[Таня Тайс]

Евгеша в сообщении #335804 писал(а):

Для общей задачи Дирихле это верно и для неограниченных областей

Я же привела Вам контрпример:

Таня Тайс в сообщении #335773 писал(а):

Например, верхняя полуплоскость $\mathbb{H}=\{z \colon Im (z )> 0\}$
Задача Дирихле $u(z)=0 \; \forall z \in \mathbb{R}$
имеет два решения: $u(z)= Im(z)$ и $u(z)\equiv 0$ .

[ГАЗ-67]

Односвязность не следует .

[Таня Тайс]

ГАЗ-67
Евгеша
Спасибо за интерес к моей задаче!

Но Вы не правы:
из условий задачи

Таня Тайс в сообщении #335533 писал(а):

В области $D$ задана голоморфная функция $f$ и функция Грина $g(z,z_0, D)=-\ln |f(z)|$ с полюсом в точке $z_0$. (значит $f(z_0)=0$)
Следует ли из условий, что $D$ односвязно?

следует односвязность.

Решение:
$z \to \partial D \Rightarrow |f(z)| \to 1$
Значит, по принципу максимума во всей области верно неравенство $|f(z)| <1$
$\Rightarrow f \colon D \to \mathbb{D}$, где $\mathbb{D}$ шар с радиусом $1$.
Граница переходит в границу, значит, $f$ - собственная функция.
Функция Грина имеет однократный полюс, иначе перед логарифмом был бы какой-нибудь фактор,
$\Rightarrow \; f(z_0)=0$ однократно
$\Rightarrow \deg f =1$

А дальше работает теорема Римана, ведь $f$ - конформное отборажение на единичный шар (см . выше) .
То есть $D$ односвязно.

[ГАЗ-67]

На сколько мне припоминается , задача Дирихле имеет следующую интерпретацию :
нахождение положения равновесия ненагруженной пленки натянутой на контур Г.
Односвязность или многосвязность здесь роли не играет .