Свойства делимости

[Marina]

Сумма и произведение чисел $a$ и $b$ делится на $n$. Что можно сказать о делимости чисел $a$ и $b$ на $n$, если число $n$: а) простое; б) составное.
Если $n$- составное, тогда или $a<\sqrt n$, или $b<\sqrt n$?
А про $n$- простое? Что $a$ или $b$ делится на $n$?

[yk2ru]

Вам задали новую задачу?
Полагаю, что если $n$ простое то $a, b$ также делятся на $n$. Вроде бы это очевидно, а вы что скажете?

[maxmatem]

$2+2=4 $и $\[ 2 \cdot 2 = 4 \] $ и оно делится на 2, ну теперь немого подумайте....

[Shtirlic]

Если n - простое. То если произведение a и b делиться на n, то одно из них делиться на n. a+b делится на n, и a делится на n, что тогда можно сказать про b?
Если n - составное, то a и b не обязательно деляться на n. Пример a=b=6, n=4. А вот про характер остатков от деления a и b на n возможно можно что-то сказать. В общим если (a mod n)=x и (b mod n)=y и (xy mod (x+y))=0. То a,b,n удовлетворяют условиям задачи. Дальше надо думать!

[Marina]

По поводу простого $n$, я исходила из свойства: "если $a$, $b$ - целые числа, $n$ - простое и $ab$ делится на $n$. то $a$ или $b$ делится на $n$".

[Shtirlic]

Правильно исходили, а дальше надо рассматривать сумму и исходить из того, что одно из слагаемых делиться на n. И поправка:
Если (a mod n)=x, (b mod n)=y, (xy mod (x+y))=0 и n=x+y. То a,b,n удовлетворяют условиям задачи. В общим для ответа на второй вопрос нужно понять когда возможно вот это (xy mod (x+y))=0.

[Marina]

Цитата:

a+b делится на n, и a делится на n, что тогда можно сказать про b?

Тогда и $b$ делится на $n$, а $ab$ делится на $n^2$?

[yk2ru]

Marina в сообщении #335681 писал(а):

Цитата:

a+b делится на n, и a делится на n, что тогда можно сказать про b?

Тогда и $b$ делится на $n$, а $ab$ делится на $n^2$?

Если одно число обозначить переменной другого и наоборот, изменится ли что-то от этого в задаче?

[Shtirlic]

Marina
Собственно да, с а) разобрались, осталось б). Если нужно просто сказать про делимость a и b на n. То тут все просто, либо оба деляться, либо оба не деляться. Нужен более глубокий анализ?

yk2ru
Я не совсем понял ваш вопрос, при ответе на б) я рассматривал $a=k_{1}n+p_1$ и $b=k_{2}n+p_2$, где $p_1<n$ и $p_2<n$ и все числа целые неотрицательные. Вы это имели ввиду?

[Marina]

yk2ru
Я не поняла вопроса.