Не могу понять где ошибка.
Рассмотрим множество непрерывных функций
![$f:\mathbb{R}\to I,\quad I=[-\pi/2,\pi/2]$ $f:\mathbb{R}\to I,\quad I=[-\pi/2,\pi/2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/8/40819d08d6cac89fa06c0b0f73b1726f82.png)
т.е.

Обозначим это множество за

. Ясно, что

.
В

и соответственно в

введена топология поточечной сходимости
посредством полунорм

,

-- всевозможные конечные наборы действительных чисел.
"Теорема". Множество

компактно.
Действительно, представим множество

в виде

Докажем, что

компактно при каждом

. Поскольку

ограничено, достаточно проверить его замкнутость. Пусть

и

. Возьмем функции

Соответственно,

Т.к.

, то

и

замкнуто.
По теореме Тихонова о прямом произведении компактов,

компактно в топлогии поточечной сходимости.
Но, это противоречит(?) тому, что последовательность

не имеет предела в

, хотя и сходится поточено.