теорема Тихонова

[terminator-II]

Не могу понять где ошибка.

Рассмотрим множество непрерывных функций $f:\mathbb{R}\to I,\quad I=[-\pi/2,\pi/2]$ т.е. $|f(x)|\le\pi/2.$ Обозначим это множество за $C$. Ясно, что $C\subset I^\mathbb{R}$.

В $ I^\mathbb{R}$ и соответственно в $C$ введена топология поточечной сходимости
посредством полунорм $p_{x_1,\ldots,x_n}(f)=\max_{i=1,\ldots, n}|f(x_i)|$, $x_1,\ldots,x_n$ -- всевозможные конечные наборы действительных чисел.

"Теорема". Множество $C$ компактно.

Действительно, представим множество $C$ в виде

$$C=\prod_{x\in\mathbb{R}}W(x),\quad W(x)=\{f(x)\in C\mid x\,-\mbox{фиксировано}\}\subset I$$

Докажем, что $W(x)$ компактно при каждом $x$. Поскольку $W(x)$ ограничено, достаточно проверить его замкнутость. Пусть $a_k\to a$ и $\{a_k\}\subset W(x)$. Возьмем функции $f_k(x)\equiv a_k,\quad f_k\in C.$
Соответственно, $f_k(x)\to f(x)\equiv a$ Т.к. $f\in C$, то $a\in W(x),$ и $W(x)$ замкнуто.

По теореме Тихонова о прямом произведении компактов, $C$ компактно в топлогии поточечной сходимости.

Но, это противоречит(?) тому, что последовательность $\{\arctg(kx)\}\subset C$ не имеет предела в $C$, хотя и сходится поточено.

[Padawan]

"Теорема" неверна.
Ведь $W(x)=[-\pi/2,\pi/2]$, по Вашему доказательству получается, что $C=I^{\mathbb R}$. Мне та формула с произведением $\prod$ непонятна.

Чтобы $C\subset I^{\mathbb R}$ было компактным необходимо и достаточно, чтобы $C$ было замкнутым. Но это не так, поскольку $C\neq I^{\mathbb R}$, но $C$ всюду плотно в $I^\mathbb R$. Действительно, возьмём любую функцию $g\in I^{\mathbb R}$. Её окрестность, $U(x_1,x_2,\ldots,x_n;\varepsilon)$ -- это множество всех функций $f\in I^{\mathhb R}$, для которых $|f(x_i)-g(x_i)|<\varepsilon$, $i=1,2,\ldots, n$ ( т.е. $p_{x_1,\ldots,x_n}(f-g)<\varepsilon$). Понятно, что среди таких функций найдутся и функции из $C$, например, кусочно-линейные. Получаем $g\in\overline C$.

В примере с арктангенсом предельная функция $\pi/2 \ \mathrm{sgn} \ x\in\overline C$.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #335524 писал(а):

Теорема" неверна.

а я это знаю, мне надо механизм понять

Padawan в сообщении #335524 писал(а):

Ведь $W(x)=[-\pi/2,\pi/2]$, по Вашему доказательству получается, что $C=I^{\mathbb R}$. Мне та формула с произведением $\prod$ непонятна.

Прямым произведением $\prod_{j\in J}Y_j$ называется множество функций $g:J\to\cup_{j\in J} Y_j$ таких, что $g(j)\in Y_j$. Разве нет?

[Padawan]

Да, но по этой формуле получается, что $C=I^{\mathbb R}$. Ошибка в том, что значения в отдельных точках не являются независимыми, а должны образовывать непрерывную функцию.

-- Вс июн 27, 2010 10:23:50 --

Вот здесь ошибка

terminator-II в сообщении #335519 писал(а):

Действительно, представим множество $C$ в виде

$$C=\prod_{x\in\mathbb{R}}W(x),\quad W(x)=\{f(x)\in C\mid x\,-\mbox{фиксировано}\}\subset I$$

[terminator-II]

Дело в том, что именно это я фактически списал у Лорана Шварца "Анализ". Посмотрите ,пожалуйста том 2 стр 489
http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... &network=1
там третья теорема Асколи и помотрите в ее доказательство. Там есть комментарий про прямое произведение и теорему Тихонова. Что-то я не понимаю ,но пока не могупонять что

[Padawan]

Всё правильно, $C$ лежит в компактном множестве $C\subset\prod_{x\in\mathbb{R}}W(x)=I^{\mathbb R}$, т.е. $C$ относительно компактно в полунормированном пространстве $\mathbb R^\mathbb R}$ (но не компактно).

[terminator-II]

Спасибо! РазобралсО