Как это откуда? Захотели и написали. Просто хотим задачу свести к более простой.
Впрочем, если не устраивает логарифмирование, то можно поступить как советует
Ranax, если я его правильно понял:
![$
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {{2^{\frac{1}
{{{2^k}}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {2^{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}
{{{2^k}}}} }} = ...\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/9/bb91d006d31c1932113e2de1bc727aff82.png "$
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {{2^{\frac{1}
{{{2^k}}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {2^{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}
{{{2^k}}}} }} = ...\]$")
-- Пт июн 25, 2010 00:47:41 --Метод логарифмирования применяем, когда хотим избавиться от произведений, как здесь, сведя их к суммам, про которые много чего знаем и с которыми чаще всего удобнее возиться. Приписывают логарифм слева от предела, потом вносят внутрь, вычисляют соответствующий ряд. Для записи ответа не надо забыть избавиться от логарифма. Собственно, вот и вся затея.
24.06.2010, 23:03 
![$\lim\limits_{x \to \infty} {(\sqrt{2}\sqrt[4]{2}...\sqrt[2^x]{2})}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/6/2e6d6ae230837a4fe5a7d988fb6d7c2e82.png "$\lim\limits_{x \to \infty} {(\sqrt{2}\sqrt[4]{2}...\sqrt[2^x]{2})}$")
![$\[\ln \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {{2^{\frac{1}
{{{2^k}}}}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\prod\limits_{k = 1}^n {{2^{\frac{1}
{{{2^k}}}}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln ...} \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/d/94d401bb729e14c337a81a533402966e82.png "$\[\ln \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {{2^{\frac{1}
{{{2^k}}}}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\prod\limits_{k = 1}^n {{2^{\frac{1}
{{{2^k}}}}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln ...} \]$")
