Предел

[user08]

Как посчитать предел?
$\lim\limits_{x \to \infty} {(\sqrt{2}\sqrt[4]{2}...\sqrt[2^x]{2})}$

[ИСН]

О, это почти невозможно. Надо знать логарифмы...

[ShMaxG]

Надеюсь икс принимает натуральные значения?

Вспомнил подпись AD...

[user08]

Ща сделал прогу, видно, что ответ 2. Понять бы как он вычисляется.

[ShMaxG]

Вам подсказали: прологарифмируйте и вычислите.

[user08]

Прошу прощения, что надо прологарифмировать?

[ИСН]

Всё.

[Ranax]

а можно вообще логарифм не знать, перейдите к др ос степени(подсказка)

[user08]

Мне представляется, что прологарифмировать значит вычислить, в какую степень надо возвести что-то, чтобы получить что-то. Мне не понятно, что значит надо всё прологарифмировать, может я неправильно понимаю значение этого слова?

[ShMaxG]

user08
$\[\ln \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {{2^{\frac{1} {{{2^k}}}}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \ln \left( {\prod\limits_{k = 1}^n {{2^{\frac{1} {{{2^k}}}}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\ln ...} \]$

Попробуйте довести до конца. Там действительно тривиально.

[user08]

Вообще ничего непонятно. Откуда взялся ln? Где можно про такие задачи почитать?

[ShMaxG]

Как это откуда? Захотели и написали. Просто хотим задачу свести к более простой.

Впрочем, если не устраивает логарифмирование, то можно поступить как советует Ranax, если я его правильно понял:
$ \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {{2^{\frac{1} {{{2^k}}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {2^{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1} {{{2^k}}}} }} = ...\]$

-- Пт июн 25, 2010 00:47:41 --

Метод логарифмирования применяем, когда хотим избавиться от произведений, как здесь, сведя их к суммам, про которые много чего знаем и с которыми чаще всего удобнее возиться. Приписывают логарифм слева от предела, потом вносят внутрь, вычисляют соответствующий ряд. Для записи ответа не надо забыть избавиться от логарифма. Собственно, вот и вся затея.

[user08]

ShMaxG в сообщении #334812 писал(а):

Впрочем, если не устраивает логарифмирование, то можно поступить как советует Ranax, если я его правильно понял:
$ \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {{2^{\frac{1} {{{2^k}}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {2^{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1} {{{2^k}}}} }} = ...\]$

Во, а так всё понятно, чёто я не додумался до такого. А с логарифмами вообще ничего не понял. Особенно непонятно причём тут натуральные логарифмы. Наверно было бы неплохо пример решения увидеть как такие задачи при помощи логарифмирования решаются.

[ShMaxG]

Ну не нравится натуральный, возьмите десятичный. Кто ж запрещает? Смысл логарифмирования в том, чтобы перейти от произведения к сумме! Я же вам написал.

[ИСН]

ShMaxG издевается. Возьмите троичный.