Методы оптимизации, математическая модель

[filin]

Стандартом предусмотрено, что октановое число бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы — не больше 0,3 %. Для изготовления такого бензина на заводе используются четыре компонента. Данные про объемы запасов смешиваемых компонентов, их стоимости, октановое число и содержание серы приведены в таблице:

Показатель__________Компонент бензина
_____________________№ 1___№ 2___№ 3___№4
Октановое число______68_____72____80____92
Сод. серы, %__________0,35__0,25__0,30___0,20
Объем в наличии, т___700____600___500___300
Стоимость, у.е/т______40_____45____60____90

Необходимо определить, сколько тонн каждого компонента нужно использовать, чтобы получить 1000 тонн бензина А-76 с минимальной себестоимостью.

Нужно решить данную задачу симплекс-методом. Сам метод я разобрала на примере более простых задач, но вручную у меня выходит неправильное решение, программой не получилось тоже. Правильно ли я составила математическую модель к этой задаче? Поправьте, пожалуйста, если неверно.

$ \left\{ \begin{array}{l} 68x_1+72x_2+80x_3+92x_4\geqslant76;\\ 35x_1+25x_2+30x_3+20x_4\leqslant 30;\\ 700x_1+600x_2+500x_3+300x_4=1000,\end{array} \right. $
Целевая функция:
$F=40x_1+45x_2+60x_3+90x_4\tomin.$

[Yu_K]

Проверьте размерности - например для Вашего равенства в системе ограничений $x_i$ безразмерная величина, а для целевой функции $x_i$ уже выступает как размерная. И как определяется октановое число смеси - надо технологов спросить - скорее всего аддитивно с долевыми кэффициентами. Но тогда тоже надо разобраться - что же такое Вы понимаете под $x_i$?

[filin]

Нет, тут не надо учитывать как определяется октановое число, просто найти оптимальное решение симплекс-методом. Так все же правильно модель составлена или нет?

[Yu_K]

Ну не надо так не надо... Давайте просто размерности проверим. Начнем с того что такое $x_i$ у Вас? Что такое $700x_1$ в третьем ограничении? И что такое $40 x_1$ в целевой функции?

[Shtirlic]

У вас модель абсолютно неправильно составлена. Октаноное число и содержание серы определяется как средневзвешанное, а у вас непойми что! 700, 600, 500, 300 - ограничения по вашим переменным, поэтому 3 уравнение нечто непонятное! А вот целевоя функция составлена правильно!=)
У меня получилось (0,500,500,0), себестоимость 52500.

[filin]

Shtirlic
Спасибо за объяснение А не подскажете тогда, как находить для этой задачи средневзвешенные значения? Я знаю, как находится средневзвешенная цена - произведение стоимости и количества, деленное на общее количество... а по какой формуле нужно считать тут, если требуется учесть ограничения "октановое число не ниже 76 и содержание серы не выше 0,3"?

[Shtirlic]

Формула таже самая!

Цитата:

Я знаю, как находится средневзвешенная цена - произведение стоимости и количества, деленное на общее количество

Только правильно: Сумма произведений стоимости и количества, деленное на общее количество.

Здесь вы искали средневзвешанную цену. А в задаче нужно найти средневзвешенные октановое число и содержание серы! 1-2 ограничения близки к правильным, но вы забыли поделить на общее количество в левой части. И обратите еще внимание, 3 ограничение неверно, вместо него должно быть 4 других ограничения!

[Yu_K]

Shtirlic
Резко что-то начали критиковать.

Может быть у топикстартера $x_1$ это доля первого компонента, добавленная в смесь - т.е. кол-во тн первого компонента деленное на 700 и тогда добавив ограничение $x_1 \leqslant 1$ и т.д. для остальных компонент - будем иметь правильное третье уравнение и тогда надо править остальные формулы.

[Shtirlic]

Yu_K
Так конечно может быть, но это несколько не рационально. Слишком это усложняет составление остальных ограничений. Куда логичней было бы предположить, что x - это доля каждого ингредиента в конечном продукте. Тогда 1-2 ограничения верны, целевая функция показывает себестоимость одной тонны. И остается только заменить 3 ограничение на 4 других. Ну и не забыть, что все x не меньше 0!=)

-- Вс июн 27, 2010 22:52:03 --

А, ну да! И нужно еще одно ограничение. Со смыслом, который вложил Yu_K в 3 ограничение!=)

[filin]

Shtirlic в сообщении #335603 писал(а):

Yu_K И остается только заменить 3 ограничение на 4 других.

4 других - это

$x_1\leqslant700$\\ $x_2\leqslant600$\\ $x_3\leqslant500$\\ x_4\leqslant300$
?

[Shtirlic]

filin
Да, переделайте еще первые два и нужно еще одно добавить!

[filin]

Спасибо, кажется теперь разобралась. Буду решать.