Исследовать ряд на сходимость

[toptop]

Подскажите пожалуйста, по какому признаку исследовать данный ряд?
$\[\sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{{n - 3}} {{{7^n}}}} \]$

[Cave]

По любому.

[maxmatem]

По признаку Коши(Самое оптимальное, на мой взгляд)! А можно и по Даламберу, ну это- уже дело вкуса!

[ewert]

Оптимально -- по Даламберу. По Коши хужее, там не вполне тривиальный (хоть и общеизвестный) предел вылазит.

(Оффтоп)

кстати: а почему эн-то от тройки?... -- это какое-то извращение, как мне кажется. Студенты просто обязаны уметь гордо игнорировать подобные обстоятельства.

[tikho]

Подскажите пожалуйста как иссл. этот ряд на сходимость

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^n}{n}$$

????Может быть использовать радикальный признак коши????

$$l=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^n}{n}}=2*\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n^{-1}}=2*1=2>1$$

,то ряд расходится???

[ИСН]

А с таким рядом:
1+1+1+1+1+1+1+1...
Вы бы как действовали? Сходится ли он? Почему?

[tikho]

расходится ,

$$S_n=n\to\infty$$

при

$$n\to\infty$$

[ИСН]

Есть такое понятие - экономия мышления. Посмотрите на него, ведь видно же, что он расходится. Обязательно ли было находить общую формулу частичных сумм? Или можно сказать как-то короче?
Ладно, ближе к делу. А такой ряд:
1+4+9+16+25...
с ним что?

[tikho]

это арифм. прогрессия,если мне не изменяет память,сходится!!!!!
Вы мне лучше про мой пример скажите правильно или нет,мне по заданию его надо решить методом коши!

[ИСН]

И к чему же сходится арифметическая прогрессия?
(Не хочу сейчас педалировать вопрос, что это не она. Неважно.)
Надо иметь какие-то твёрдые убеждения.
А то, знаете, вокруг толпа, и все кричат:
- Сходится!
- Расходится!
- Сходится, если дашь мне 2000 рублей, а иначе нет!
Кому верить? Как быть? Куда крестьянину податься?

[gris]

ИСН, мне показалось, что Вы тончайшим, невесомым намёком намекаете на некий признак на букву н, но в случае $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n}$ его не проще применить, чем пресловутый признак Коши. Хотя вот говорят там нетривиальный предел вылезает.
Вы правы, некуда податься!

PS Ну как же это понятно, что последовательность возрастает? Производную считать? Или как-то доказывать... Хотя ряды уже после производных идут, а вот и нет, не у всех. У кое-кого на букву З до.

[meduza]

gris в сообщении #334556 писал(а):

его не проще применить, чем пресловутый признак Коши.

ну то, что $2^n/n$ возрастает даже ежу понятно. Вот если бы tikho рассматривал слово "сходимость" не как некое абстрактное свойство, связанное с признаками сходимости, а просто как конечность суммы, то и в голову не пришло бы какого-то Коши вспоминать.

[ИСН]

(Оффтоп)

Да хоть так, gris. Пусть не проще, но всё равно надо его. Иначе бред же. Действительно, абстрактное свойство. Учёные сидят на хвосте крокодила (спиной вперёд), просверлили чешую, в микроскоп исследуют кровяные шарики. " - Коллега, я считаю, это существо может быть опасно. - Нет, коллега, я сомневаюсь."

[Mathusic]

(Мемориз)

ИСН в сообщении #334544 писал(а):

А такой ряд:
1+4+9+16+25...
с ним что?

tikho в сообщении #334547 писал(а):

это арифм. прогрессия,если мне не изменяет память,сходится!!!!!

Браво! В мемориз!
Простите за оффтоп.

[tikho]

Исследовать на сходимость числовой знакочередующийся ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2+n+1}$$

Применим для исследования предельный признак сравнения. В качестве эталона для сравнения выберем расходящийся гармонический ряд:

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}$$

Вычислим предел отношения общих членов рода:

$$k=\lim_{n\to infity}{\frac{\frac{1}{n^2+n+1}}{\frac{1}{n^2}}$$

=1,следовательно ряды имеют одинаковую сходимость и исследов. нами ряд расходится.
Исследуем ряд на условную сходимость.Применим для исследования признак Лейбница.Проверим условие выполнения признака.
1.

$$\lim_{n\to infity}{\frac{1}{n^2+n+1}}=0$$

т.е. предел общего члена ряда равен 0
2.

$$\frac{1}{n^2+n+1}>\frac{1}{(n+1)^2+(n+1)+1}=\frac{1}{n^2+2n+3}$$

, т.е. абсолютные величины членов ряда монотонно убыв.
Следовательно исслед. ряд сходится условно!!!!!
Проверьте пожалуйста правильность моих рассуждений!!!!!