2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 21:44 
мат-ламер в сообщении #332311 писал(а):
А плоскость без рациональных точек связна?
И даже линейно связна.

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение24.06.2010, 09:56 
А можно ли сказать, что на плоскости самое большое счетное множество, это множество точек с рациональными координатами?

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение24.06.2010, 10:11 
Аватара пользователя
Ну, алгебраических гораздо "больше".

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение24.06.2010, 10:20 
В смысле?

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение24.06.2010, 10:21 
Аватара пользователя
"Самого большого" счетного множества не найдется: всегда можно к счетному множеству добавить точку и сделать его "больше".

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение24.06.2010, 10:22 
Kasky в сообщении #334457 писал(а):
В смысле?

Ну в смысле их ровно столько же, но при этом гораздо больше. Неужто непонятно?...

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение24.06.2010, 10:28 
Аватара пользователя
В смысле, туда входят все рациональные и ещё дофига, понимаете?

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение24.06.2010, 10:50 
Понял)

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение07.08.2010, 03:38 
Аватара пользователя
Под хорошей кривой будем понимать замкнутое множество $c \subseteq \mathbb{R}^3$, такое что внутренность $c$ пуста и для любого шара $B \subseteq \mathbb{R}^3$ множество $B \setminus c$ связно. Доказать, что если из $\mathbb{R}^3$ выкинуть счётное семейство хороших кривых, то останется связное множество.

(Оффтоп)

Пусть $C$ --- множество точек, лежащих на выброшенных кривых и множество $\mathbb{R}^3 \setminus C$ несвязно. Тогда найдутся непустые открытые множества $X$ и $Y$, такие что $X \cup Y \cup C = \mathbb{R}^3$ и $X \cap Y \subseteq C$. По теореме Бэра внутренность $C$ пуста и, значит, $\mathrm{cl}(X) \cup \mathrm{cl}(Y) = \mathbb{R}^3$. Если $\mathrm{cl}(X) \cap \mathrm{cl}(Y) = \varnothing$, то $\mathbb{R}^3$ несвязно; противоречие. Значит, $\mathrm{cl}(X) \cap \mathrm{cl}(Y) \neq \varnothing$. По теореме Бэра найдутся открытое множество $U \subseteq \mathbb{R}^3$ и кривая $c \subseteq C$, такие что $\varnothing \neq U \cap \mathrm{cl}(X) \cap \mathrm{cl}(Y) \subseteq c$. Получаем, что $U \setminus c = ((U \setminus c) \cap \mathrm{cl}(X)) \cup ((U \setminus c) \cap \mathrm{cl}(Y))$ --- несвязное множество. Противоречие.

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group