выпуклое множество

[Padawan]

terminator-II в сообщении #333358 писал(а):

Теорема.

terminator-II в сообщении #333279 писал(а):

Пусть $M$ выпуклое замкнутое подмножество рефлексивного банахова пространства $(X,\|\cdot\|)$. Доказать, что $\|\cdot\|$ достигает минимума на $M$.

Док-во. Пусть $x_n$ -- минимизирующая последовательность: $\|x_n\|\to d=\inf_{x\in M}\|x\|$. Она ограничена. В силу рефлексивности, эта последовательность содержит слабо сходящуюся подпоследовательность, обозначим ее так же: $x_n\to x_0$ слабо. Так как для выпуклых множеств замкнутость эквивалентна слабой замкнутости имеем $x_0\in M$.

Предположим, что $x_0\ne 0$ иначе доказывать нечего.

id в сообщении #333311 писал(а):

Тогда наверно нужно взять некоторый линейный функционал (особенно хорошо - если он в точке $x_0$ достигает своей нормы) и получить противоречие со слабой сходимостью.

В пространстве $\mathrm{span}\,\{x_0\}$ введем линейный функционал $f$ положив $f(x_0)=\|x_0\|^2.$ Ясно, что

$$\|f\|=f\Big(\frac{x_0}{\|x_0\|}\Big)=\|x_0\|.$$

По теореме Хана-Банаха продолжим этот функционал без увеличения нормы на все $X$.

Имеем $f(x_n)= f(x_0)(1+\varepsilon_n),$ где $\varepsilon_n\to 0$. Откуда $\|f\|\|x_n\|\ge|f(x_0)|(1+\varepsilon_n),$ или

$$\|x_0\|\|x_n\|\ge \|x_0\|^2(1+\varepsilon_n).$$

Переходя к пределу получим $d\ge \|x_0\|$. ЧТД

Можно еще по-другому доказать, что $\|x_0\|=d$. Известно, что если последовательность слабо сходится, то существует последовательность $y_m$ выпуклых комбинаций векторов $x_n$, которая будет уже сильно сходящейся к $x_0$. Так как $\|x_n\|\leq d$, то и $\|y_m\|\leq d$. При $m\to\infty$ получим $\|x_0\|\leq d$.

-- Ср июн 23, 2010 05:29:30 --

Вообще, такое утверждение: Если $x_n\to x_0$ слабо, то $\|x_0\|\leqslant\lim\limits_{n\to\infty}\inf\|x_n\|$.

[Хорхе]

Padawan в сообщении #333995 писал(а):

Вообще, такое утверждение: Если $x_n\to x_0$ слабо, то $\|x_0\|\leqslant\lim\limits_{n\to\infty}\inf\|x_n\|$.

Впрочем, я уже писал про слабую полунепрерывность нормы снизу. И да, я бы доказывал ее, используя замечательную лемму Мазура :)

[terminator-II]

Padawan в сообщении #333995 писал(а):

если последовательность слабо сходится, то существует последовательность $y_m$ выпуклых комбинаций векторов $x_n$, которая будет уже сильно сходящейся к $x_0$

Теорема Мазура является следствием теоремы Хана-Банаха, так, что это все, что в лоб, что по лбу; без леммы Цорна как без рук
Правда можно еще изменить формулировку:
Пусть $M$ слабо замкнутое подмножество рефлексивного банахова пространства $(X,\|\cdot\|)$. Доказать, что $\|\cdot\|$ достигает минимума на $M$ Тогда с непосредственным применением теоремы Мазура возникнут трудности.


-- Wed Jun 23, 2010 10:07:47 --

Padawan в сообщении #333995 писал(а):

Если $x_n\to x_0$ слабо, то $\|x_0\|\leqslant\lim\limits_{n\to\infty}\inf\|x_n\|$.

это получается соответствующим предельным переходом в формуле

terminator-II в сообщении #333358 писал(а):

$$\|x_0\|\|x_n\|\ge \|x_0\|^2(1+\varepsilon_n).$$

[id]

Цитата:

Вообще, такое утверждение: Если $x_n\to x_0$ слабо, то $\|x_0\|\leqslant\lim\limits_{n\to\infty}\inf\|x_n\|$.

оно же следует из

Цитата:

если последовательность слабо сходится, то существует последовательность $y_m$ выпуклых комбинаций векторов $x_n$, которая будет уже сильно сходящейся к $x_0$

, верно?

А последнее, в свою очередь, доказываем, рассматривая $K:= \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathrm{Conv} \{x_1,x_2,\dots,x_n\}$, которое будет выпуклым множеством. Если утверждение неверно, то существует окрестность $x_0$, не пересекающаяся с $K$. А какую формулировку Мазура предполагается использовать? Так, которая про выпуклое открытое множество и подпространство, дизъюнктное с ним? Ну тогда понятно вроде.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #333358 писал(а):

Теорема.

terminator-II в сообщении #333279 писал(а):

Пусть $M$ выпуклое замкнутое подмножество рефлексивного банахова пространства $(X,\|\cdot\|)$. Доказать, что $\|\cdot\|$ достигает минимума на $M$.

Док-во. Пусть $x_n$ -- минимизирующая последовательность: $\|x_n\|\to d=\inf_{x\in M}\|x\|$. Она ограничена. В силу рефлексивности, эта последовательность содержит слабо сходящуюся подпоследовательность, обозначим ее так же: $x_n\to x_0$ слабо. Так как для выпуклых множеств замкнутость эквивалентна слабой замкнутости имеем $x_0\in M$.

Предположим, что $x_0\ne 0$ иначе доказывать нечего.

id в сообщении #333311 писал(а):

Тогда наверно нужно взять некоторый линейный функционал (особенно хорошо - если он в точке $x_0$ достигает своей нормы) и получить противоречие со слабой сходимостью.

В пространстве $\mathrm{span}\,\{x_0\}$ введем линейный функционал $f$ положив $f(x_0)=\|x_0\|^2.$ Ясно, что

$$\|f\|=f\Big(\frac{x_0}{\|x_0\|}\Big)=\|x_0\|.$$

По теореме Хана-Банаха продолжим этот функционал без увеличения нормы на все $X$.

Имеем $f(x_n)= f(x_0)(1+\varepsilon_n),$ где $\varepsilon_n\to 0$. Откуда $\|f\|\|x_n\|\ge|f(x_0)|(1+\varepsilon_n),$ или

$$\|x_0\|\|x_n\|\ge \|x_0\|^2(1+\varepsilon_n).$$

Переходя к пределу получим $d\ge \|x_0\|$. ЧТД

У Вас в доказательстве ошибка (лучше сказать недочет)
Вот здесь

Цитата:

Она ограничена. В силу рефлексивности, эта последовательность содержит слабо сходящуюся подпоследовательность

Это не обязательно. Можно выделить поднаправленность, она не обязана быть подпоследовательностью. На доказательство не влияет

[terminator-II]

Padawan в сообщении #334058 писал(а):

У Вас в доказательстве ошибка (лучше сказать недочет)
Вот здесь
Quote:
Она ограничена. В силу рефлексивности, эта последовательность содержит слабо сходящуюся подпоследовательность

Это не обязательно. Можно выделить поднаправленность, она не обязана быть подпоследовательностью. Но доказательство можно исправить, незначительными модификациями.

К. Иосида, Функциональный Анализ, стр 201, Мир, Москва, 1967:
"Теорема (Эберлейн-Шмульян). Для того чтобы банахово пространство $X$ было рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы всякая сильно ограниченная последовательность его элементов содержала подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой точке пространства $X$. "

[id]

Поднаправленность последовательности, не являющаяся последовательностью ... ?

-- Ср июн 23, 2010 12:35:18 --

Но все-таки повторю вопрос из прошлого поста, по поводу своих соображений

Цитата:

А какую формулировку Мазура предполагается использовать? Так, которая про выпуклое открытое множество и подпространство, дизъюнктное с ним?

Что-то меня тут смущает.

-- Ср июн 23, 2010 12:41:32 --

В том смысле смущает, что имея выпуклое открытое $\mathrm{Int} \ K$ и некоторое (например одномерное) подпространство $M, \ x \in M$, не пересекающееся с ним, мы получаем гиперплокость, содержащую $M$ и не пересекающую $K$. И тут бы надо получить противоречие со слабой сходимостью... но вот не все вроде так просто.

Еще я помню теорему о строгом разделении выпуклых множеств ЛВП, но там одно из множеств должно быть компактным. А тут - без рефлексивности если - слабую компактность не получить.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #334061 писал(а):

К. Иосида, Функциональный Анализ, стр 201, Мир, Москва, 1967:
"Теорема (Эберлейн-Шмульян). Для того чтобы банахово пространство $X$ было рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы всякая сильно ограниченная последовательность его элементов содержала подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой точке пространства $X$. "

Точно, точно, я болван.

id в сообщении #334070 писал(а):

Поднаправленность последовательности, не являющаяся последовательностью ... ?

Да, бывает такое

[id]

Свой вопрос снимаю, т.к. всякое выпуклое замкнутое множество (в т.ч. замыкание $K$ выше) является пересечением полупространств $\{x: f_{\alpha} (x) \le c_{\alpha}\}$, ну и соответственно для некоторого $\alpha$ будет $f_{\alpha}(K) \le c_{\alpha}, \ f_{\alpha}(x_0) >c_{\alpha}$, что противоречит слабой сходимости. По-моему, так. (а как тут напрямую применить геометрический вариант Хана-Банаха, Мазура то есть, я так сразу не вижу)

Цитата:

Да, бывает такое

Интересно взглянуть бы.

[Padawan]

(Оффтоп)

Пусть $\beta\mathbb N$ -- компактификация Стоуна-Чеха натурального ряда. Пусть $\xi\in\beta\,\mathbb N\setminus\mathbb N$. Рассмотрим множество $\mathbb N\cup\{\xi\}$ с индуцированной из $\beta\mathbb N$ топологией. Рассмотрим последовательность $x_n\in\mathbb N$, $x_n=n$. Тогда $\xi$ является предельной точкой для $\{x_n\}$, значит, существует поднаправленность $x_{n_\alpha}$, сходящаяся к $\xi$. Но не существует никакой подпоследовательность $x_{n_k}$, сходящейся к $\xi$. В противном случае функция $f(n_k)=(-1)^k$, $f(n)=0$ при $n\neq n_k$, была бы непрерывна и ограничена на $\mathbb N$, но не продолжалась бы до непрерывной на всё $\beta\mathbb N$ (в любой окрестности точки $\xi$ она принимает значения $1$ и $-1$), что противоречит основному свойству компактификации Стоуна-Чеха.