Нужна помощь в решении задач по механике

[Dudeskin15]

1) На гладком столе покоятся точечные массы 3m и 2m, скрепленные невесомой жесткой штангой. На массу 3m налетает и прилипает к ней кусочек пластилина массы m, двигавшийся вдоль стола со скоростью v0 перпендикулярно штанге. С какой скоростью должен двигаться наблюдатель, для которого движение штанги после соударения является чистым вращением? в каком отношении точка, вокруг которой происходит это вращение, делит штангу?
По идее эта задача на момент инерции, но я не знаю как к ней подступиться...


2) Две пружины с жесткостями k1 и k2 присоединены одним концом к вертикальной стенке, другим к грузу массы m, лежащему на горизонтальном столе. В начальный момент пружина k1 растянута на длину l1, а пружина k2 сжата на длину l2, после чего груз m отпустили. Найти амплитуду и период колебаний груза. Трением пренебречь.

[whiterussian]

Приведите хоть какие-нибудь попытки решения. Пользуйтесь тегом math

[Dudeskin15]

вторая задача. здесь нужно использовать уравнение гармонических колебаний мне кажется
$x=Asin(phi0+wt)$
за х можно взять смещение от положения равновесия
закон гука возможно нужно использовать. у кого еще какие мысли?

[Sintanial]

хммм ну вообще то говоря, во второй задачи необходимо использовать второй закон Ньютона
$m\ddot x=\sum\limits_{n=0}^{k} F_n $
Ну как вы поняли, мы ось х направили по движению груза ( параллельно площадке на котором лежит груз). Теперь вам необходимо только спроектировать силы и учесть что пружины уже были сжаты и растянуты.
Т.е. $F_{uprugosti}=k_1(x-l_1)+k_2(x+l_2)$ (Делал наспех, поэтому не знаю правильно ли я знаки учёл). $x$ как вы уже заметили это отклонение от положения равновесия =)

З.ы. Учтите что силу тяжести мы не учитываем т.к. она вертикально направленна по отношению к оси x, и учитывайте знак силы упрогости когда будете подставлять в уравнения, она направленна против направления оси х
З.ы.ы. Если перед $sin$ в формуле поставить тильду \ то получится красивее $\sin$ и тоже самое если перед $phi$ поставить тильду \ то получится $\phi$, и буква омега тоже есть красивая $\omega$- это так на будущее =)).

-- Пн июн 21, 2010 23:34:52 --

А первую задачку я как то не понял =)!

[Dudeskin15]

допустим есть уравнение силы упругости и второй закон Ньютона.
как теперь перейти к уравнению гармонических колебаний?

[Sintanial]

хммм а вы дифференциальные уравнения вообще решать умеете ?
У вас получается уравнение
$m\ddot x=k_1(x-l_1)+k_2(x-l_2)$ или $m\ddot x-k_1x+k_1l_1+k_2x-k_2l_2=0$ далее
$\ddot x +x\dfrac {(k_2-k_1)}{m}-\dfrac {k_2l_2-k_1l_1}{m}=0$ Обозначим $\dfrac {(k_2-k_1)}{m}=\omega ^2$ а $-\dfrac {k_2l_2-k_1l_1}{m}=c$
Получается
$\ddot x+\omega^2 x+c=0$ Далее решаете диффур и получаете уравнения колебания . Омега как мне помнится это будет амплитуда колебаний =)

[Dudeskin15]

в том то и проблема, что диффуры я не умею решать еще) мы их будем в следующем семестре проходить, то есть на втором курсе) а физик задачу задал сейчас решать и его не волнует, что мы диффуры не проходили...вот я и обращаюсь за помощью

[PAV]

Перенесено из физики в механику

[Sintanial]

Ну что ж пора начинать учиться решать дифференциальные уравнения тогда
И так для начала выписывается характеристическое уравнение
$\lambda^2+\omega^2=0$отсюда находим что $\lambda = \pm i\omega$
тогда решение уравнения ищется в виде $x=C_1\cos \omega t+C_2\sin \omega t+A$
Константу A найдем подставив наше решение в исходное уравнение и получим $A=-\dfrac {c}{\omega^2}$
Окончательно получаем решение вида
$x=C_1\cos \omega t+C_2\sin \omega t-\dfrac {c}{\omega^2}$
Где $\omega$- амплетуда колебаний а $T=\dfrac {2\pi}{\omega}$- период колебаний

Но как то всё это слишком подозрительно . Либо у вас и вправду преподаватель странный, либо вы лукавите .Ну как можно давать задачи на колебание если человек еще не изучал дифф уравнения ппц....

[ainour1]

вторая задача по моему достаточно простая надо рассматривать пружины как резервуары энергии(конденсаторы) один заряжен положительно другой отрицательно в зная жесткость и деформацию каждой пружины можно найти ее энергию потом суммировать и зная что суммарная энергия остается постоянной в отсутствии трения найти амплитуду из формулы которую все знают (она получается интегрирование закона гука) далее зная массу груза и полную энергию а также то что в крайней фазе колебания энергия полностью переходит в кинетическую по формуле кинетической энергии можно найти скорость,зная скорость движения и максимальный путь =амплитуда можно найти время колебания.И все:)Еще если помог отправь мне в личку сообщение:)

[Velikan39]

Sintanial в сообщении #333714 писал(а):

$\omega$- амплетуда колебаний

Только не амплитуда, это круговая частота.
Амплитуду можно вычислить из начальных условий (см. в учебнике - формула имеется):
$x_0$ - расстояние от начала отсчета до начального положения тела,
$v_0$ - начальная скорость (внимательно читайте условие - там она задана).

А вот за начало отсчета $x_0$ следует принят положение статического равновесия тела, для этого обязательно сделайте чертеж нормальный, нанесите все силы, начальные деформации пружин, задайтесь произвольно (недалеко от показанного на схеме тела) положение системы отсчета на расстоянии $x_0$ - и приравняйте силы натяжения пружин (закон Гука). Для расчета можно использовать ту же схему, только вместо $x_0$ поставить $x$, а решать как вам показал Sintanial, только немного другое получиться уравнение. В нем будет фигурировать $x_0$ и как результат не будет свободного члена $c$. Решать его кстати не обязательно - достаточно составить, если найдете в учебнике нужные формулы - все получиться.

По поводу первой задачи: вращение будет происходит около главных осей инерции, в данной случае (плоская задача) это будет центр тяжести стержня с прикрепленным пластилином (т.е. вместо $3m$ считаем $3m+m=4m$). Его можно найти по формуле (не забудьте поместить гирю в систему координат):

$$\[{x_c} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{P_i}{x_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{P_i}} }} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}{x_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}} }}\]$$

Теперь воспользуйтесь законом сохранения энергии приравнивая кинетическую энергию пластилина к энергии вращающейся гири (состоит из двух частей - только вращательной центра масс). Ну и смотрите, что получается - должно хватить. Если останутся неизвестные - нужно еще применить закон сохранения импульса. Удачи!

[Sintanial]

да вы правы это круговая частота, ошибся =)

[Dudeskin15]

спасибо за помощь, но здесь всё решается примитивно и никакие диффуры не нужны))
($A=(k1L1-k2L2)/(k1+k2)$
$T=(2*`pi)*sqrt(m/(k1+k2))$

[ainour1]

Собственно я это и предлагал