[Линейная алгебра] Самосопряженный оператор

[Alexander_s]

Всем привет, натолкните на мысль для решения задачи.
Линейное преобразование \varphi евклидова пространства $R^2$ имеет в базисе $a_1=(0,-1), a_2=(1,2)$ матрицу $A_\varphi = \left(\begin{array}{cc}3&-3\\1&-1\\\end{array}\right) $.
Нужно выяснить, является ли это преобразование самосопряженным(желательно через тождество самосопряженного оператора$(\varphi(x), y)=(x, \varphi(y))$)

[paha]

Alexander_s в сообщении #333485 писал(а):

$a_1=(0,-1), a_2=(0,2)$

это не базис)))

[ewert]

Alexander_s в сообщении #333485 писал(а):

, является ли это преобразование самосопряженным(желательно через тождество самосопряженного оператора

У самосопряжённого оператора (независимо от вида базиса и даже от его в данном случае бессмысленности) -- весьма характерная форма, её и надо проверять. Доказывать же непосредственно через определение -- выглядит некоторым извращением.

[Alexander_s]

paha
А что же это по вашему?

ewert
Про то что в единичном базисе матрица самосопряженного оператора имеет диагональный вид я знаю и через это доказал, но препод потребовал через определение.. вот..

[paha]

ewert в сообщении #333490 писал(а):

независимо от вида базиса

вот это неправда (базис может не быть ортонормированным)

-- Пн июн 21, 2010 18:46:00 --

Alexander_s в сообщении #333492 писал(а):

Про то что в единичном базисе матрица самосопряженного оператора имеет диагональный вид

и это неправда (базис не обязан состоять из собственных векторов)

-- Пн июн 21, 2010 18:47:27 --

Alexander_s в сообщении #333492 писал(а):

А что же это по вашему?

это два коллинеарных вектора

[Alexander_s]

блин! опечатка, извините
базис $a_1=(0,-1), a_2=(1,2)$

[paha]

так запишите матрицу оператора в базисе $(1,0)$ , $(0,1)$ и следуйте совету ewert'а

[Alexander_s]

paha в сообщении #333499 писал(а):

так запишите матрицу оператора в базисе $(1,0)$ , $(0,1)$ и следуйте совету ewert'а

Надо доказать именно по определению, а не по виду.

[paha]

ну так и запишите $(Aa_1,a_2)=(Aa_2,a_1)$

[Alexander_s]

Я всё правильно понял?
$a_1=(0,-1), a_2=(1,2)$ $A_\varphi = \left(\begin{array}{cc} 3 & -3 \\ 1 & -1 \\\end{array}\right)$ $\varphi(a_1)=3a_1+a_2=(0,-3)+(1,2)=(1,-1)$ $\varphi(a_2)=-3a_1-a_2=(0,3)+(-1,-2)=(-1,1)$ $(\varphi(a_1),a_2)=(a_1,\varphi(a_2))$ $((1,-1),(1,2))=((0,1),(-1,1))$ $-1 = -1$

[paha]

отвык я от векторов-строк:)))

в последней строчке все-таки $-1=+1$

[Alexander_s]

Да нет, там будет -1 = -1
На листочке все правильно написал, сюда с ошибкой переписал, ибо писалось это в час ночи=)
((1,-1),(1,2))=((0,-1),(-1,1))

[La|Verd]

paha в сообщении #333508 писал(а):

ну так и запишите $(Aa_1,a_2)=(Aa_2,a_1)$

Этого разве достаточно для подтверждения самосопряженности? Это равенство ведь должно выполняться для любых векторов евклидового пространства, то есть
$(Ax, y)=(x, Ay)$ для всех $x, y \in E$.
В данном случае, раз уж Вы хотите действовать через базис, нужно отдельно выразить x и y как линейную комбинацию векторов базиса, верно?

[neo66]

La|Verd в сообщении #334127 писал(а):

Этого разве достаточно для подтверждения самосопряженности?

Этого необходимо и достаточно.