Штрих-код треугольника

[Лукомор]

Garik2 в сообщении #332507 писал(а):

У вас все верно

У меня - да, таки всё верно.
А вот с геометрией что-то не так...
Чтобы провести три прямые - нужно шесть точек.
Берём циркуль, и проводим дугу с центром в точке А(0; 0) через точку С(1,8; 2,4) до пересечения с основанием в точке (3;0).
Это одна точка нижней/правой прямой.
Аналогично проводим дугу с центром в точке В(5; 0) через точку С(1,8; 2,4) до пересечения с основанием в точке (1; 0).
Это точка средней (синей на чертеже) прямой.
А где ещё четыре точки?

-- Пт июн 18, 2010 15:56:29 --

Третья точка получается, если отрезок равный АВ отложить влево по оси абсцисс от точки А.
Не очевидное какое-то построение, получается, что ось абсцисс всё равно нужна, без неё не будет точки пересечения...

[gris]

Нужно продлевать стороны треугольника и всё будет нормально.

[Garik2]

Да, именно это я хотел сказать. Вот рисунок (вместо окружностей черчу хорды):



У каждой хорды центр вращения - это противолежащая (по отношению к хорде) вершина треугольника ABC.
Стрелками я показал, от какой вершины двигать циркуль.

Геометрия удивительно интересная! Вот только не хватает времени на доказательство. Тем, кто свободен сейчас - я просто завидую. Так руки чешутся повозиться с классикой!

Кстати: в школе мы (помните?) проходили способы построения параллельных прямых. Так вот в данной задаче показан еще один такой необычный способ. Через произвольный треугольник. :)

Никак не найду первоисточник десятилетней давности. Кто хоть изобрел первый такое? Неужели древние греки не знали? Что-то я сомневаюсь. Уж они-то были дотошние до циркуля с линейкой! Все возможное и невозможное перелопатили. Посмотрел все математические энциклопедии в моей библиотеке. Ничего похожего не высмотрел. В инете материал еще более скудный.

[Garik2]

Нужно "всего-то доказать", что желтые прямоугольные треугольнички подобны. Аналитически это просто делается. Но вот геометрически... Я задумался...

[gris]

Может быть тут использовать накрест лежащие и вписанные углы?

[Garik2]

Я тоже так думал... Но что-то тут еще хитрое нужно увидеть. Накрест лежащий только один. Другие иные. Уже мозга за мозгу заходит. И дома сосредоточиться не дают: то футбол непредсказуемый, то белье надо вешать :)
Кто же выдумал такую сложнейшую простоту? Думается так: нужно начертить весь контур с равнобедренными треугольниками (их три), далее анализировать все геометрические части и выявить равные углы желтых треугольников. Это такая черновая мысль у меня. Сложного тут ничего не должно быть. Терпение, только терпение...

[Garik2]

Теперь прояснилось окончательно. Нужно рассматривать исключительно углы. В исходном треугольнике - это альфа, бета, гамма. Когда получаем равнобедренный треугольник, то при его основании два равных угла зависят от угла вершины и т.д. По цепочке приходим к подобию треугольничков (в предыдущем рисунке). Схема такая:

[Лукомор]

gris в сообщении #332532 писал(а):

Нужно продлевать стороны треугольника и всё будет нормально.

Да!
Чистая геометрия, оси координат не нужны.
Я уже попробовал то же самое без всяких координат, только продолжения сторон.
Получается!

-- Сб июн 19, 2010 13:07:40 --

Garik2 в сообщении #332535 писал(а):

вместо окружностей черчу хорды

И, обратите внимание, хорды попарно параллельны...

[Garik2]

Хорды попарно параллельны, потому что окружности концентрические :)))
Координаты понадобились затем, чтобы обнулить несколько параметров и тем самым существенно упростить аналитику. Это позволило с абсолютной точностью установить факт параллельности всех трех прямых. Если бы просто использовались геометрические построения, то был бы элемент сомнения, случайного совпадения.
Теперь пришел черед доказать параллельность классическим геометрическим анализом. Как это бы сделали древние греки.

[Garik2]

Решается элементарными геометрическими рассуждениями. Рассмотрим верхний отрезок B'K , по которому строится первая линия штрих-кода. Если в основном треугольнике ABC углы обозначить как альфа, бета и гамма, то треугольничек A'B'C будет подобным. Его сторона c-a будет подобна стороне a исходного треугольника. Следовательно, можно найти сторону A'B' и сторону A'K ( поскольку CK=c-b). Треугольник A'KL прямоугольный. У него угол KA'L равно альфа, а гипотенуза A'K вычислена. Следовательно, найдем B'L и KL=h. Отсюда - и наклон отрезка B'K.

Точно так же - другие два отрезка. Если все сделать грамотно, то обязательно получим равные наклоны всех трех отрезков.

[Garik2]

Рассмотрев эту несложную геометрию, получил формулу для коэффициента при x:



Результат полностью идентичен полученному прежнему аналитическим методом.

То есть, геометрический подход тоже несложный и лишний раз доказывает, что три отрезка параллельны друг другу.

Думаю, что тема полностью исчерпалась, результат получился интересный, красивый и, главное, - верный.
Спасибо всем за участие!

[gris]

Garik2, у Вас получился очень красивый математический этюд.
В нём наука соседствует с искусством.
Изящество сочетается со строгостью.
Несмотря на некоторую сложность, доступно и школьникам, и может служить им, а также всем любителям математики, примером математической красоты.
Может быть даже это стоит развить далее.
Буду теперь следить за Вашими сообщениями в надежде, что Вы найдёте ещё что-нибудь подобное.
Я Вас искренне поздравляю и желаю дальнейших успехов.

[Garik2]

Спасибо! Постараюсь быть полезным науке и форуму. Иначе зачем жить?

P.S. Первоисточник так и не нашелся. Может, кто-нибуть по поисковикам пройдется? Наверняка есть электронная публикация. Сегодня попробовал - вышел только на наш замечательный dxdy. Странное десятилетнее молчание.

[Лукомор]

Garik2 в сообщении #333437 писал(а):

Думаю, что тема полностью исчерпалась

Стоп, стоп, стоп!
Как это исчерпалась?
Ещё куча не рассмотренных вопросов...
Во первых найти наиболее простую формулу для расстояний между получившимися параллельными прямыми.
И что у нас там с обратным преобразованием из трёх параллельных прямых в треугольник???
Циркулем и линейкой разумеется...

[Garik2]

Ах, да! Обратное преобразование нужно рассмотреть. Я на досуге пытался геометрически это сделать, но получилось вроде так, что последовательными приближениями решалось. Пробовал формулы вывернуть наизнанку, но Maple заткнулась и не соизволила. Попробую еще раз штурмом ухватить мыша за хвост. Ну и вы пробуйте уж! Вместе веселее.
Длины параллельных отрезков и их расстояния друг от друга найти проще всего аналитически. Действительно - какие они? Связаны ли с размерами сторон исходного треугольника? Может, есть не менее удивительная закономерность, чем параллельность. Опять по-Исаковскому: "Душа обязана трудиться..."
Да! Мне через неделю обещали прислать ссылку публикации в какой-то энциклопедии. Вот ведь тянут уже кота за хвост! :)