Несобственный интеграл(вычисление)

[Geremy]

Здравствуйте . Натолкните пожалуйста на мысль с вычислением интеграла :

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax) - ax}{x^{3}}dx$$

[ShMaxG]

Метод дифференцирования по параметру $a$.

[Padawan]

Два раза по частям -- $\frac{1}{x^3}$ под дифференциал. Получится хорошо известный интеграл Дирихле.

[Geremy]

Вот только кроме интеграла Дирихле там еще много некрасивых выражений, или они должны заведомо взаимноуничтожаться?

-- Вс июн 20, 2010 16:01:05 --

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax) - ax}{x^{3}}dx =\int\limits_{0}^{\infty}\frac{sinax}{x^{3}}dx - \int\limits_{0}^{\infty}\frac{a}{x^{2}}dx = -\frac{1}{2}(\frac{sinax}{x^{2}}|_{0}^{\infty}+\frac{acosax}{x}|_{0}^{\infty}+ \frac{a^{2}}{2}\int\limits_{0}^{\infty}\frac{sinax}{x}dx) + \frac{a}{x}|_{0}^{\infty}$$

[Padawan]

На два интеграла не надо разбивать, т.к. по отдельности каждый из них расходится. Так и тащите $\sin ax-ax$ вместе.

[Geremy]

$$-\frac{1}{2}(\int\limits_{0}^{\infty}\frac{sinax - 2ax +axcosax}{x^{2}}|_{0}^{\infty} + a\int\limits_{0}^{\infty}\frac{sinax}{x}dx)$$

[Padawan]

$$\int\limits_0^{+\infty}\frac {\sin ax-ax}{x^3}\,dx=-\frac{1}{2}\int\limits_0^{+\infty}(\sin ax-ax)d\frac{1}{x^2}=-\left \frac 12 \frac{\sin ax-ax}{x^2}\right |_{x=0}^{+\infty}+\frac{1}{2}\int\limits_0^{+\infty}\frac{a\cos ax-a}{x^2}\,dx=0+\ldots$$

[Geremy]

я так и вычислял и в итоге получилось , то что выше написано

-- Вс июн 20, 2010 18:51:13 --

Я так понимаю что первая дробь равна нулю и остается только интеграл Дирихле с коэффициентом

[Padawan]

Оставшийся интеграл по частяи, аналогично, и он превратится в интеграл Дирихле.