сигма-алгебра на прямой, порожденная точками

[derzki]

\sigma-алгебру на $\mathbb{R}$ порожденную точками.

спасибо

[PAV]

Начните сами. Приведите примеры каких-нибудь классов множеств, которые заведомо должны принадлежать данной сигма-алгебре.

[derzki]

PAV писал(а):

Начните сами. Приведите примеры каких-нибудь классов множеств, которые заведомо должны принадлежать данной сигма-алгебре.

пытаюсь придумать что-нибудь типа точек решающих какое-нибудь уравнение и пустое множество.

[PAV]

Нет, совсем не то. Где в определении сигма-алгебры сказано про какие-то уравнения?

Посмотрите определение сигма-алгебры. Можете записать его сюда. Вам дано, что все множества, состоящие из ровно одной точки, принадлежат сигма-алгебре. Какие следствия можно тогда извлечь из определения сигма-алгебры?

[derzki]

PAV писал(а):

Нет, совсем не то. Где в определении сигма-алгебры сказано про какие-то уравнения?

Посмотрите определение сигма-алгебры. Можете записать его сюда. Вам дано, что все множества, состоящие из ровно одной точки, принадлежат сигма-алгебре. Какие следствия можно тогда извлечь из определения сигма-алгебры?

что их объединения (пересечения), дополнения тоже принадлежат сигма-алгебре

[PAV]

Верно, если уточнить, что объединения и пересечения берутся в не более чем счетном числе.

Вот несколько наводящих вопросов: будет ли принадлежать нашей сигма-алгебре конечное множество точек? а множество всех целых чисел? а рациональных? а иррациональных?

Попробуйте сформулировать какие-нибудь максимально общие критерии, при выполнении которых про множество можно точно сказать, что оно должно принадлежать нашей сигма-алгебре.

[derzki]

PAV писал(а):

Верно, если уточнить, что объединения и пересечения берутся в не более чем счетном числе.

Вот несколько наводящих вопросов: будет ли принадлежать нашей сигма-алгебре конечное множество точек? а множество всех целых чисел? а рациональных? а иррациональных?

Попробуйте сформулировать какие-нибудь максимально общие критерии, при выполнении которых про множество можно точно сказать, что оно должно принадлежать нашей сигма-алгебре.

я именно такие вопросы и рассматриваю. если допустить, что конечное (счетное или даже несчетное) множество точек принадлежит сигма алгебре, то и все пересечения (всегда пустые множества? - отредактировано - нет не всегда пустые) и дополнения оных также должны быть в сигма алгебре. а это говорит о том что и вся прямая $\mathbb{R}$ должна быть в сигма алгебре.

[PAV]

Сигма-алгебра состоит не из точек, а из множеств точек. Пустое множество и вся прямая включаются в сигма-алгебру обычно по определению.

Вот пример корректного рассуждения. Вопрос - будет ли принадлежать сигма-алгебре множество, состоящее из двух точек $\{a,b\}$? (не путайте, то не отрезок $(a,b)$)

Ответ: да, такое множество обязано принадлежать сигма-алгебре, потому что по условию задачи ей принадлежат все одноточечные множества, а, значит, и множества $\{a\}$ и $\{b\}$, а значит и $\{a,b\}$, потому что оно равно их объединению.

Теперь ответьте аналогичным образом на вопросы, которые я задал выше.


Когда набираете формулы, проще указывать не теги [ math ] и [ \math ], а одиночные знаки доллара вместо этого. Поправьте свое предыдущее сообщение, пожалуйста. Почему-то система воспринимает эту команду неправильно.

[derzki]

а дополнение? что есть дополнение $\{a\}$? а дополнение $\{a,b\}$? ведь множество - будь то точка или (конечно, счетно, несчетно) много точек - принадлежит сигма алгебре как минимум если его дополнение также принадлежит оной.

[PAV]

$\mathbb{R}\backslash\{a\}=\{x\in\mathbb{R} : x\ne a\} = (-\infty,a)\cup (a,+\infty)$

[derzki]

PAV писал(а):

$\mathbb{R}\backslash\{a\}=\{x\in\mathbb{R} : x\ne a\} = (-\infty,a)\cup (a,+\infty)$

да, но почему можно утверждать что множество из двух точек $\{a,b\}$ входит в сигма алгебру, когда не ясно входит ли туда, например, то что вы написали. например, допустим такая сигма алгебра: $\{\mathbb{R}, \emptyset, (-\infty, 0], (0, \infty)\}$. Входит ли туда множество $\{1\}$? Нет.

[PAV]

Вспомните условие задачи

derzki писал(а):

\sigma-алгебру на $\mathbb{R}$ порожденную точками.

"Порожденная точками" как раз означает, что в сигма-алгебру включены все одноточечные множества.

[derzki]

PAV писал(а):

Вспомните условие задачи

derzki писал(а):

\sigma-алгебру на $\mathbb{R}$ порожденную точками.

"Порожденная точками" как раз означает, что в сигма-алгебру включены все одноточечные множества.

Наверное, тогда не Ваши вопросы следует ответить утвердительно. Если в сигма алгебре содержатся все одноточечные множества, то в ней также содержатся все множества образованные пересечениями (пары, тройки, и тд) этих точек. Если в сигма алгебре содержатся рациональные точки, то в ней также содержатся и иррациональные как дополнение последних. Видимо, это и есть критерий?

[PAV]

Примерно (только не пересечениями, а объединениями).

Таким способом мы приходим к тому, что в сигма-алгебре заведомо должны содержаться следующие два типа множеств:

1. Множества, состоящие из конечного или счетного числа точек.

2. Дополнения до множеств первого типа.

Теперь могу Вам сообщить радостную новость, что указанные множества уже образуют сигма-алгебру. Нужно только это проверить, и тогда задача решена.

При этом видно, что некоторые естественные множества в полученную сигма-алгебру не включены. Например, отрезки.

[derzki]

PAV писал(а):

Примерно (только не пересечениями, а объединениями).

Таким способом мы приходим к тому, что в сигма-алгебре заведомо должны содержаться следующие два типа множеств:

1. Множества, состоящие из конечного или счетного числа точек.

2. Дополнения до множеств первого типа.

Теперь могу Вам сообщить радостную новость, что указанные множества уже образуют сигма-алгебру. Нужно только это проверить, и тогда задача решена.

При этом видно, что некоторые естественные множества в полученную сигма-алгебру не включены. Например, отрезки.

А что значит "дополнения до множеств первого типа"?