Аксиома (о параллельных) доказана?

[Ranax]

аксиому нельзя доказать-в нее можно только верить

[gris]

Lyosha, аксиома это всего лишь некоторое высказывание. Система аксиом может быть сделана избыточной в целях большей доходчивости или быть таковой до поры до времени. Прямо при Вас доказали половину аксиомы о параллельных в формулировке "...только одна...". Автор темы, как, кстати, и Лобачевский, думал, что система Евклидовых аксиом избыточна и пытался вывести аксиому о параллельных из других аксиом, то есть доказать её. Тогда аксиома стала бы теоремой в узком смысле. Лобачевский пытался сделать это от противного, но у него не получилось.

Пока мы не приняли высказывание "через точку вне данной прямой можно провести не более одной прямой, ей параллельной" как аксиому, либо пока мы не доказали его на основании набора аксиом, общих для евклидовой геометрии и некоторой другой, мы не в праве говорить, в какой из геометрий (рассматриваемых как аксиоматические теории) мы "находимся.

Если принять за аксиому, что сумма углов в любом треугольнике равна величине развёрнутого угла, то утверждение о единственности параллельных будет рядовой теоремой.

[sergey1]

Padawan в сообщении #332271 писал(а):

Me-and-myself
Нет, не докажите. В геометрии Лобачевского для любых двух параллельных прямых найдётся третья прямая, которой они перпендикулярны (представьте модель Пуанкаре -- полуплоскость и ортогональные к её границе окружности). Так что Ваше определение не спасает.

Не для любых. В геометрии Лобачевского непересекающиеся прямые бывают двух видов - параллельные - они асимптотически сближаются в одном направлении и неограниченно расходятся в другом - у них нет общего перпендикуляра (на модели Пуанкаре они изображаются касающимися полуокружностями ), второй вид - расходящиеся прямые - у них общий перпендикуляр есть.

Но Me-and-myself все равно

Цитата:

не докажет

-- Пт июн 18, 2010 12:33:05 --

Ranax в сообщении #332348 писал(а):

аксиому нельзя доказать-в нее можно только верить

Есть ситуации, в которых выражение "доказать аксиому" имеет смысл. Например, если аксиоматика избыточна. Или если некоторое утверждение имеет общепринятое название вида "аксиома...".

[Lyosha]

gris,я действительно забыл,что аксиоматика может быть избыточной.

А вот это:

gris в сообщении #332368 писал(а):

Если принять за аксиому, что сумма углов в любом треугольнике равна величине развёрнутого угла, то утверждение о единственности параллельных будет рядовой теоремой.

- слишком сильно.Достаточно просто существования такого треугольника.

[Инт]

Me-and-myself в сообщении #332224 писал(а):

Да и Вы ясно понимаете, что не о геометрии Лобачевского речь идёт....

-- Чт июн 17, 2010 19:03:53 --

Я о классике, о греческой классике...

Единственность всё равно не доказали. Для доказательства нужно привести абсолютные аргументы почему другие направления не есть прямые, не пересекающие первоначально данную. Если бы Вы дали определение, "что есть прямая", то тогда доказательство было бы возможно. Но тогда нет гарантии, что можно дать единственное определение относительно всех ситуаций.

Ranax в сообщении #332348 писал(а):

аксиому нельзя доказать-в нее можно только верить

Неверно. Нет ни одной аксиомы, в которую математики верят без знания того, что она выполняется в достаточно естественных условиях. Все аксиомы вводятся на достаточном основании.

[PAV]

Тема закрыта. Тот факт, что аксиома о параллельных не зависит от остальных (при условии непротиворечивости геометрии вообще) хорошо известен, поэтому все "доказательства" обязательно оказываются основанными на какой-либо вариации той же аксиомы. Так что для сомневающихся остается только найти соответствующие материалы и разобраться в них. Если непонятно - разбираться еще раз или найти другие материалы с изложением попроще. И так до окончательного озарения.