Теорема о неподвижной точке

[maikle]

Всем привет! Опять возникла проблема с пониманием док-ва теоремы Брауэра.

Читал вот тут на стр. 278-280: http://ilib.mirror1.mccme.ru/pdf/kurant.pdf

Не понимаю, а точнее понимаю "двусмысленно", что такое индекс и итоговый поворот вектора.

И на стр. 280 совсем не понимаю, к чему там написано про вектор в центре круга :

Цитата:

Но это невозможно, так как, в силу непрерывности преобразования, векторы преобразования в достаточно малом круге должны весьма мало отличаться от вектора в центре круга. И потому итоговый
поворот такого вектора при обходе круга может быть сделан, скажем, меньше 10 градусов, если только радиус круга будет достаточно мал.

Точнее понятно, что угол между ним и другим вектором будет мало отличаться от нуля, но почему мы рассматриваем именно его итоговый поворот, хотя речь идет о поворотах векторов с началом на окружности?

Спасибо большое!

[ewert]

maikle в сообщении #332114 писал(а):

Не понимаю, а точнее понимаю "двусмысленно", что такое индекс и итоговый поворот вектора

Векторы непрерывно зависят от точки на окружности и нигде не обращаются в ноль, поэтому для них имеет смысл полярный угол как функция точки (тоже непрерывная). После одного обхода окружности с возвратом в исходную точку приращение этой функции будет кратно 360 градусам. Вот этот коэффициент кратности -- и есть индекс.

maikle в сообщении #332114 писал(а):

И на стр. 280 совсем не понимаю, к чему там написано про вектор в центре круга :

Дело не в том, что он именно в центре, а в том, что он перемещается по сколь угодно малой окружности -- и, значит, испытывает (в силу непрерывности) сколь угодно малое приращение. А поскольку это приращение в любом случае кратно 360 градусам -- сколь угодно малым оно может быть только если в точности нулевое.

[maikle]

В общем, я так понял, какие-то векторы на маленькой окружности будут равными и из-за этого нам придется пройти, допустим, градусов 10, чтобы встретить равный исходному вектор. И из этого следует, что какое-то кол-во точек должно остаться неподвижным.

[ewert]

maikle в сообщении #332128 писал(а):

я так понял, какие-то векторы на маленькой окружности будут равными и из-за этого нам придется пройти, допустим, градусов 10,

Не так. Равные или нет -- это не важно. А важно то, что при полном обходе вдоль любой достаточно маленькой окружности полный угол поворота будет в точности равен нулю. А при обходе вокруг граничной окружности он равен 360 градусам. Это противоречит тому, что угол поворота непрерывно зависит от радиуса окружности и при этом кратен 360 градусам.

[terminator-II]

ewert
Помнится мы с Вами где-то на этом форуме написали хорошее доказательство теоремы Брауэра.

[ewert]

Совершенно не помню. А доказательство из Куранта мне понравилось. Только изложено оно действительно не очень внятно.

[terminator-II]

вот оно Нашел: topic24161.html

[maikle]

На будущее отмечу себе (занимаюсь самообучением), прикольно

[terminator-II]

Судя по книжке Куранта, доказательство основной теоремы алгебры тоже не мешает выложить.

[maikle]

Кстати, помогите, пожалуйста, если можете :

topic34163.html

-- Чт июн 17, 2010 14:00:06 --

Цитата:

полный угол поворота будет в точности равен нулю

Почему же он равен нулю?

Совсем не понимаю о каких углах речь

[CowboyHugges]

maikle в сообщении #332162 писал(а):

Почему же он равен нулю?

Потому что с одной стороны индекс точки величина целая, а с другой сколь угодно малая. Вообще если Вас интересует конкретно эта тема рекомендую книжку Красносельский, Забрейко "Векторные поля на плоскости", там теория вращения векторных полей повнятней изложена чем в Куранте.

[maikle]

В общем ещё одна мысль у меня проскользнула: все вектора зависят друг от друга, т.е. по граничной окружности не может быть например вот такого, как на рисунке 1:

http://img69.**invalid link**/img69/6430/77110247.jpg

Но могут вектора располагаться так, как на рисунке 2. Это имел в виду автор под итоговым поворотом вектора? Т.е. вектор перемещаясь по окружности плавненько меняет свое направление, ну и длина его может быть любой.

[maikle]

А если векторы направлены под углом 90 градусов к касательной внутрь во всех случаях?