Неопределённый интеграл

[Casaubon]

Серьёзная тема, вопрос об адекватной дефиниции неопределённого интеграла меня давно интересует. Надеюсь, ещё кто-нибудь откликнется.

Отчасти согласен с ewertом, что неопределённые интегралы --- вещь искусственная и техническая. Есть уже понятие первообразной. И введены лишь для младших групп только для того, чтобы они научились вычислять затем определённые интегралы по Ньютону-Лейбницу.
И как было сказано другим участником дискуссии, это определение (играющее лишь методическую роль) вполне может разниться от школы к школе.
И всё же есть «но».

Любое определение должно быть обязательно непротиворечивым и, желательно, не требующем при своём использовании построения сложных конструкций.
Первая серьёзная трудность возникает при рассмотрении серии примеров, приведённого почти во всех классических учебниках матана:

$$ \int e^x\sin x\,dx=\bigl[\text{20 раз по частям}\bigr]=e^x(\sin x-\cos x) -\int e^x\sin x\,dx $$

И как быть дальше? Если просто механически перенести интеграл в левую часть (подразумевая под ним одну и ту же первообразную), то откуда возьмётся $+C$? А если считать, что это разные первообразные, то, по хорошему, $+C$ нужно уже вводить в формулу интегрирования по частям. И ещё в куче мест внести изменения.
Если же под интегралом понимается семейство, совокупность или даже множество (а когда мы говорим множество, мы обязаны ещё помнить всю теоретико-множественную аксиоматику) то совсем не понятно, по каким правилам эти множества складывать, а главное, вычитать. Общих красивых правил для этого нет, а вводить некую теорию ah hoc для множеств функций, которые могут лишь отличаться на константу, как-то не солидно. Но и это нужно сделать, если мы хотим строгости изложения, и нигде этого не делается.
Если кто-то встречал последовательное и строгое изложение этого вопроса в учебниках, мне было бы очень интересно.

Кстати, в приложениях таких проблем обычно не возникает. Эльсгольц, например, прямо говорит, что под $\int \ldots dx$ мы понимаем какую-то одну функцию, и сразу к интегралам прибавлят $C$:

$$ \frac{dx}x=dy \quad \Longrightarrow\quad \int\frac{dx}x=\int dy+C. $$

Ещё одна проблема --- с линейным свойством. С одной стороны

$$ \int 0\cdot dx=C, $$

с другой

$$ \int 0\cdot dx=\int 0\cdot1\cdot dx=0 \cdot \int 1\,dx=0\cdot(\text{функция ли, число ли, совокупность функций ли})=0. $$

Понятно, что проще было бы ограничиться интегралами вида $\int_{x_0}^xf(t)\,dt$ хотя знающие люди мне тут же приведут пример интегрируемой функции, не имеющей первообразную ни на одном интервале. Но такие функции в классических курсах матана и не рассматриваются.
И неопределённые интегралы идут в курсе раньше определённых.

Так как же правильно рассказывать студентам про неопределённый интеграл, у кого какие мнения?..

Заметил ещё ветку, но там дискуссия совсем в сторону ушла.

[hurtsy]

Casaubon в сообщении #331275 писал(а):

Серьёзная тема, вопрос об адекватной дефиниции неопределённого интеграла меня давно интересует. Надеюсь, ещё кто-нибудь откликнется.

Предлагаю расширить вопрос. Среди интернетовского юмора попался мне неопределенный интеграл

$$\int e^x \cdot x^e dx$$

. Если представить экспоненту в виде ряда по $x$, то интеграл берется, но константа достаточна одна?
И почему неопределённый интеграл изучается "раз и навсегда"? Ведь можно эту тему рассматривать на разных уровнях, паралельно развитию учащегося. С уважением,