Сумма квадратов

[NNDeaz]

В школе говорят, что сумма квадратов не раскладывается на действительные числа, а как же тогда
$a^2 + b^2 = (a^{2/3})^3 + (b^{2/3})^3 = (a^{2/3} + b^{2/3})(a^{4/3} - (ab)^{2/3} + b^{4/3})$

[gris]

Сумма квадратов не раскладывается на произведение многочленов с натуральными показателями степеней и действительными коэффициентами.

[Mathusic]

NNDeaz в сообщении #330863 писал(а):

В школе говорят, что сумма квадратов не раскладывается на действительные числа...

Значит, у вас плохая школа.

-- Вс июн 13, 2010 20:45:51 --

gris в сообщении #330867 писал(а):

Сумма квадратов не раскладывается на произведение многочленов с натуральными показателями степеней и действительными коэффициентами.

Раскладывается, но вы всегда в праве сказать, что имели ввиду другое:

$$x^4+a^4=(x^2-a\sqrt{2}x+a^2)(x^2+a\sqrt{2}x+a^2).$$

[gris]

Вы разложили сумму четвёртых степеней. Их, конечно, тоже можно считать квадратами, но тем не менее какое-то ощущение чего-то не совсем корректного никак не может до конца покинуть смущённое воображение.

[Mathusic]

gris в сообщении #330902 писал(а):

Вы разложили сумму четвёртых степеней. Их, конечно, тоже можно считать квадратами, но тем не менее какое-то ощущение чего-то не совсем корректного никак не может до конца покинуть смущённое воображение.

(Оффтоп)

Хорошо, чтобы не возникало сомнений, давайте запишем так: $x^4+a^4=(x^2)^2+(a^2)^2$

-- Вс июн 13, 2010 21:53:21 --

gris в сообщении #330902 писал(а):

...но тем не менее какое-то ощущение чего-то не совсем корректного никак не может до конца покинуть смущённое воображение.

Верное ощущение, ибо уважаемый ТС просто-напросто не поставил задачу.

[arqady]

$x^4+x^2+25$ и $x^8+34x^4+1$ - тоже суммы квадратов, а приводимы даже над $\mathbb Z.$

[gris]

Специально посмотрел в школьные учебники и нигде не нашёл утверждения, даже близкого к тому, что привёл автор.
Некоторые школьники действительно путают сумму квадратов и квадрат суммы, неправильно применяют формулы сокращённого умножения.
Для них, вероятно, некоторые учителя и говорят: "Запомните, сумма квадратов не раскладывается", что может быть и доходчиво, но некорректно.
Имеется в виду, что нет формулы для представления суммы квадратов двух переменных (даже и произвольных выражений) через произведение многочленов от этих переменных.
Разумеется, всем ясно уже, но пишу, чтобы какая-нибудь наивная семиклассница не впала в искушение.

[Mathusic]

gris в сообщении #331120 писал(а):

Имеется в виду, что нет формулы для представления суммы квадратов двух переменных (даже и произвольных выражений) через произведение многочленов от этих переменных.

Мне не понятно до конца. Например, $a^2+b^2=1\cdot(a^2+b^2)$ искомое представление.

[gris]

Можно добавить, что ни один них не равен действительному числу
В школьной математике, особенно в средних классах на самом деле много умолчаний и нестрогостей, но возраст учащихся такой. Переходный.

[Mathusic]

gris в сообщении #331163 писал(а):

Можно добавить, что ни один них не равен действительному числу

А как же тогда $(a^2+b^2)=-i(ia^2+ib^2)=(a+ib)(a-ib)$ (про действительность коэф-тов Вы ничего не упоминали)
Вы всё-таки, сможете сформулировать то, что хотели (или не хотели) сказать?

[gris]

Сдаюсь. Впрочем, у меня тоже есть своё опровержение исходного высказывания:

$$2^2+6^2=5\times8$$

ЗЫ У меня короче по числу символов.

[Mathusic]

gris в сообщении #331166 писал(а):

Сдаюсь. Впрочем, у меня тоже есть своё опровержение исходного высказывания:

$$2^2+6^2=5\times8$$

Можно было бы и не приводить такой высокоинтеллектуальный пример. Вполне хватило бы и $2^2+6^2=1\times(2^2+6^2)$