Штрих-код треугольника

[Garik2]

Треугольник - одна из самых замечательных геометрических фигур. Теоремы Чевы, Морлея, Стюарта, Менелая; точки Жергонна, Нагеля, Фейербаха; прямые Симсона и Эйлера; девять точек окружности... Вот далеко не полный список чудес треугольника. А недавно был на лекции в одном НИИ, там промелькнуло утверждение, что любой треугольник однозначно определен штрих-кодом. Кто-нибудь слышал о таком?

[meduza]

Garik2 в сообщении #331084 писал(а):

любой треугольник однозначно определен штрих-кодом.

Ну не любой. Множество треугольников бесконечно. А множество штрих-кодов -- нет.

[Garik2]

Может, я не так выразился. Лектор говорил, что для произвольного треугольника однозначно строятся три параллельные линии. Их наклон и расстояния друг от друга строго привязаны к координатам вершин. Эти три параллельные линии и были названы "штрих-кодом". Рисунка не было показано - все объяснялось на словах ( в качестве лирического отступления).

[Лукомор]

Garik2 в сообщении #331352 писал(а):

Их наклон и расстояния друг от друга строго привязаны к координатам вершин.

Наклон к чему?

[STilda]

Лукомор, может паралельные линии на сфере

[Garik2]

Лукомор в сообщении #331369 писал(а):

Наклон к чему?

Треугольник с заданными координатами вершин расположен на плоскости. Штрих-код его - суть три параллельные прямые. Они привязаны к той же координатной сетке, что и треугольник. Как у любой прямой, у них есть наклон к оси абсцисс. Вот этот наклон у всех трех прямых одинаковый (для конкретного треугольника). Скорей всего так:


P.S. Рисунок сделал сам, по словесному описанию лектора (он руками показывал примерно то, что привел на рисунке). Может, это давное известная вещь? Я еще недостаточно силен в новинках геометрии.

[gris]

Если мы рассматриваем треугольники на полоскости с учётом из положения, то для задания треугольника нужно 6 чисел. Вчера только обсуждалась биекция из $\mathbb R^n\to [0;1]$.
Значит любой треугольник на плоскости можно задать одной точкой. А уж три прямых, да с понаклоном, это перебор.

[arseniiv]

Garik2 в сообщении #331352 писал(а):

Лектор говорил, что для произвольного треугольника однозначно строятся три параллельные линии. Их наклон и расстояния друг от друга строго привязаны к координатам вершин. Эти три параллельные линии и были названы "штрих-кодом".

С точностью до движения туда необходимо добавить ещё и пересекающую их прямую. Тогда будет откуда брать угол. Правда, не вижу в этом ничего необычного. Треугольник однозначно задаётся тройкой чисел (с точностью до движений, ещё раз) (правда, не любых), а два расстояния между тремя параллельными прямыми и один угол между ними и четвёртой прямоу как раз тоже дают три. Но можно в соответствие треугольникам не только такие четвёрки прямых сопоставлять — с таким же успехом можно сопоставлять их множеству пар окружность + луч + прямая. В любом из этих случаев, кстати, соответствие не взаимно однозначное, а лишь инъективное.

А вот, оказывается, ещё и gris написал своё ви́дение.

[Garik2]

Наверное вы не успели рассмотреть мой рисунок. Что-нибудь теперь приходит на ум? У меня полная растерянность.

[gris]

Возьмём систему координат и произвольный треугольник и построим для него штрих-код. Теперь сдвинем треугольник вдоль прямых. Мы получим уже другой треугольник или тот же самый?

[Garik2]

Ууу. пардон, не знаю. Если бы такой интересный вопрос возник у меня тогда, на лекции, я бы задал его и выяснил :(

[gris]

Вообще вопрос интересен только с геометрической точки зрения.
Можно ли по штрих-коду восстановить треугольник, пользуясь только циркулем и линейкой? И построить штрих-код для треугольника?
Я думаю, что система координат здесь лишняя, ибо аналитически построить непрерывную биекцию между $\mathbb R^4$ и подмножеством $\mathbb R^6$ (с учётом невырожденности треугольника, перестановок вершин) не получится, а разные там вычурные фокусы наглядного смысла не имеют.
То есть мы должны просто по чертежу треугольника строить штрих-код, который должен быть жёстко привязан к треугольнику и при движениях двигаться вместе с треугольником.

Хотя это всё мои досужие домыслы, и, возможно, существует реальная красивая теория этих самых штрих-кодов.

Интересно было бы узнать, можно ли произвольный отрезок на плоскости задать штрих-кодом. Сколько для этого понадобится прямых.
А просто точку? Если не привязываться к системе координат.

[arseniiv]

Вот так можно отображать "штрих-код" в треугольник (он в соответствии с моим предыдущим сообщением):


-- Вт июн 15, 2010 17:32:03 --

gris в сообщении #331524 писал(а):

Интересно было бы узнать, можно ли произвольный отрезок на плоскости задать штрих-кодом. Сколько для этого понадобится прямых.
А просто точку? Если не привязываться к системе координат.

Если "не привязываться к системе координат" = "без учёта движений" (мне так кажется, что да), то 2 параллельные прямые и 0 прямых соответственно.

-- Вт июн 15, 2010 17:33:46 --

Можно и пересекающиеся вместо параллельных, если задан способ строить отрезок по углу (для этого нужен лишний отрезок, который должен быть, например, прилежащим к заданному углу катетом прямоугольного треугольника, вторым катетом будет отрезок, соответствующий углу).

-- Вт июн 15, 2010 17:37:01 --

(Оффтоп)

Удивительно, gris, что вы сами не придумали. Вы же хорошо вроде разбираетесь в геометрии (я-то не очень как раз ).

-- Вт июн 15, 2010 17:40:13 --

Кстати, я неверно сказал про инъективность отображения. Оно может ведь быть каким угодно (т. к. ${\Bbb R}^n \sim {\Bbb R}^m $, как замечал gris), притом в данном случае построения по коду треугольника оно инъективно, но не в ту сторону, в которую я имел ввиду в предыдущем сообщении.

-- Вт июн 15, 2010 17:42:20 --

Имел ввиду только инъективно, без взаимной однозначности. А вообще, как раз-таки, если движения не важны, этот способ взаимно-однозначный (если только прямые не пронумерованы).

[gris]

arseniiv, я немножко не то имел в виду.
Не привязываясь к системе координат у меня означает, что никакой системы координат на плоскости не задано. Даже ничего больше нет на плоскости, кроме одной точки. Я имел в виду вот что:
Дана точка. Надо построить штрих-код, чтобы удалив точку, мы могли бы по нему восстановить положение этой точки. Я могу задать положение точки отрезком, парой непараллельных прямых, но вот параллельными?

[Garik2]

arseniiv в сообщении #331526 писал(а):

Имел ввиду только инъективно, без взаимной однозначности. А вообще, как раз-таки, если движения не важны, этот способ взаимно-однозначный (если только прямые не пронумерованы).

Возможно Вы правы. Что-то в этом есть. А обратное действительно возможно?
Может быть, параллельные не просто прямые, а параллельные отрезки? Угол наклона прямых, допустим дает ориентацию одной из сторон, а три отрезка - полигон треугольника. Тогда будем иметь положение фигуры на плоскости.

Но наверное я неправ. Идея штрих-кода по логике должна состоять в том, чтобы минимальными средствами дать полную информацию о треугольнике. Но тогда штрихи должны быть, как обычно, вертикальными.