Треугольник в трехмерном пространстве

[Pixar]

Задача такая. Есть треугольник в пространстве, у которого известны три вершины: $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$, $(x_3,y_3,z_3)$. Надо уметь отыскивать $z$, если известны $x$ и $y$.

Как начал думать я. Вообще, как мне кажется, для таких случаев должна использоваться билинейная интерполяция, но по википедии я нашёл интерполяцию по 4-м точкам и, как я понял, ключ в том, что мы строим линии (в 4-х угольнике), которые параллельны одной из осей, таким образом исключается "лишнее уравнение" и можно выразить f(x,y) по одной из переменных. Тут я даже посчитал всё это. Но у треугольника таким образом я могу выразить только две прямые:

Общего уравнения для любой точки у меня не получается. Но я прочитал про барицентрические координаты, которые мне очень сильно напомнили про эту проблему. И опять "но" - я не понял барицентрические координаты и как с ними работать, и как мне, в конце концов, вывести общую формулу...

[AKM]

Pixar в сообщении #330947 писал(а):

Задача такая. Есть треугольник в пространстве, у которого известны три вершины: $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$, $(x_3,y_3,z_3)$. Надо уметь отыскивать $z$, если известны $x$ и $y$.

А как Вы хотите отыскать какое-то $z$, если о нём ничего не говорится в условии задачи? Может, данный треугольник определяет плоскость $F(x,y,z)=0$, и именно её уравнение типа в виде $z=f(x,y)$ надо отыскать?
Ежели так, то это просто. В духе этой сегодняшней окружности.

[maxmatem]

А правило группировки , правило "рычага"? (это относится к барицентрическим координатам)

[Pixar]

AKM в сообщении #330954 писал(а):

Pixar в сообщении #330947 писал(а):

Задача такая. Есть треугольник в пространстве, у которого известны три вершины: $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$, $(x_3,y_3,z_3)$. Надо уметь отыскивать $z$, если известны $x$ и $y$.

А как Вы хотите отыскать какое-то $z$, если о нём ничего не говорится в условии задачи? Может, данный треугольник определяет плоскость $F(x,y,z)=0$, и именно её уравнение типа в виде $z=f(x,y)$ надо отыскать?
Ежели так, то это просто. В духе этой сегодняшней окружности.

Треугольник определяет плоскость, это естественно.
$F(x,y,z)$? Такой функции в условии нет. В общем, когда работает машина, постепенно изменяются $x$-ы и $y$-и в пределах треугольника. Соответственно, нужно узнать чему равен $z$ в этих точках. Вот картинка:

maxmatem в сообщении #330958 писал(а):

А правило группировки , правило "рычага"? (это относится к барицентрическим координатам)

Не знаю, может быть...

[Алексей К.]

AKM, похоже, прав в трактовке Вашей задачи. Вы можете найти $z$ из уравнения

$$\mathrm{det}\left|\begin{array}{cccc}x&y&z&1\\x_1&y_1&z_1&1\\ x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{array}\right|=0. $$

Для этого не надо барицентрических координат, но нужно знать, что такое определитель матрицы.

[Pixar]

А можно пояснить, откуда взялся этот детерминант, и почему он равен нулю?

[Алексей К.]

Ну как бы это линейное уравнение $F(x,y,z)=0$, то есть уравнение плоскости, и $F$ обращается в нуль для любой из заданных трёх точек.
Подтверждения --- во (всех?) справочниках, объяснения --- в учебниках по аналитической геометрии. У меня их при себе нет, и списать мне неоткуда...

[ewert]

Pixar в сообщении #330974 писал(а):

А можно пояснить, откуда взялся этот детерминант, и почему он равен нулю?

Существуют ненулевые числа $A,B,C,D$ такие, что

$$\begin{cases}Ax+By+Cz+D=0; \\ Ax_1+By_1+Cz_1+D=0; \\ Ax_2+By_2+Cz_2+D=0; \\ Ax_3+By_3+Cz_3+D=0.\end{cases}$$

Следовательно, определитель матрицы этой системы равен нулю.

Но Вам нужно не это, а и впрямь барицентрические координаты:

$$\begin{cases}x=x_1+u\cdot(x_2-x_1)+v\cdot(x_3-x_1); \\ y=y_1+u\cdot(y_2-y_1)+v\cdot(y_3-y_1); \\ z=z_1+u\cdot(z_2-z_1)+v\cdot(z_3-z_1), \end{cases}$$

где $u,v\in[0;1]$ и $u+v\leqslant1$.

[Pixar]

Последняя формула меня очень радует, не знаю почему :). А что такое $u,v$? И как мне самому вывести эту систему?

PS: про $F(x,y,z)=0$ я понял

[ewert]

Pixar в сообщении #331138 писал(а):

А что такое $u,v$?

ewert в сообщении #331005 писал(а):

где $u,v\in[0;1]$ и $u+v\leqslant1$.

А вывести -- запросто: $\vec r=\vec r_1+u\cdot\vec r_{21}+v\cdot\vec r_{31}$, вот и все.