Частная производная

[Nogin Anton]

Функция $z=\arcctg^2{(x^3+4y^2)}$

$z'_x=2\arcctg{(x^3+4y^2)}\cdot (-\frac{1}{1+(x^3+4y^2)^2})\cdot 3x^2$

Я ведь правильно посчитал?

[gris]

Правильно
Кстати, дифференцирование легко проверяется интегрированием. Проинтегрируйте результат и, если получите то же самое, с точностью до тождественных преобразований, то всё ОК.

[maxmatem]

Вот если бы вы сразу дифференциал функции нашли, то мгновенно получили бы все частные производные первого порядка, т.е то, что стоит при $dx$ и $dy$ соответственно и были бы те самые частные производные!

[Nogin Anton]

А вот такой гляньте пожалуйста:

$z=(\ln{y})^{x^2+1}$

$z'_y=(x^2+1)\cdot (\ln y)^{x^2}\cdot \frac{1}{y}$

[AKM]

Правильно
Кстати, дифференцирование легко проверяется интегрированием. Проинтегрируйте результат и, если получите то же самое, с точностью до тождественных преобразований, то всё ОК.

[Nogin Anton]

[мат-ламер]

А откуда взялся минус в производной из первого поста? Проверяйте вычисления компьютером.

[meduza]

мат-ламер
$\arcctg'(x) = -\dfrac 1 {1+x^2}$

[мат-ламер]

meduza в сообщении #330427 писал(а):

мат-ламер
$\arcctg'(x) = -\dfrac 1 {1+x^2}$

Однако!

(Оффтоп)

Специально учтановлю MAPLE в этот Windows, c которого захожу в форум.

[gris]

мат-ламер писал(а):

Однако!

Новое мнемоническое правило. "Ко" даёт минус при дифференцировании косинуса, арккосинуса, арккотангенса и котангенса. Однако-ко-ко!

[мат-ламер]

Я извиняюсь и не заметил, что две "c" идут подряд и считал, что это $\arctg$. Про $\arcctg$ я вообще не подумал.

[arseniiv]

Простите за захват, но...

maxmatem в сообщении #330400 писал(а):

Вот если бы вы сразу дифференциал функции нашли

...разве можно найти полный дифференциал, не находя до этого всех частных производных?

[Padawan]

(Оффтоп)

arseniiv
Можно, и очень удобно
Пример
$du^v=\Bl(u^v\Gl)'_udu+\Bl(u^v\Gl)'_vdv=vu^{v-1}du+u^v\ln u dv$
$d{(\sin x)^{\cos \sqrt{x+y^2}}=\cos{\sqrt{x+y^2}\,(\sin x)^{\cos{\sqrt{x+y^2}}-1}\,d\sin x+(\sin x)^{\cos \sqrt{x+y^2}}\ln \sin x \,d\cos \sqrt{x+y^2}=\ldots$

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ну так вот же они, частные производные, при этом находятся всё же первее дифференциала! Я уж подумал, что есть какой-то секретный способ сначала узнать дифференциал полный, а уже из выражения для него частные производные...
А вот записывать сразу $d$ без записывания отдельно $\partial/\partial x_i$ действительно удобно, буду теперь так делать!