Обратный оператор в гильбертовом пространстве

[cyb12]

Пусть $H, F$ -- гильбертовы пространства. $A\in L(H\to F)$ -- линейный ограниченный оператор, $\kappa > 0$. Утверждается, что для того, чтобы было верно

$$2\langle A^*Ah,h\rangle_H\geqslant\kappa||h||_H^2\hphantom{aaaa} \forall h\in H$$

необходимо и достаточно существование обратного оператора

$$(A^*A)^{-1}\in L (H\to H),$$

здесь $\langle \cdot,\cdot\rangle_H$ и $||\cdot||_H$ -- скалярное произведение и норма соответственно в пространстве $H.$
Помогите понять, почему это верно.

[ewert]

$(Ah,Ah)\ge k(h,h)$ ровно и означает ограниченность обратного, не больше и не меньше, а значит -- и ограниченность того произведения. Ну плюс пару заклинаний насчет того, что из этого неравенства следует обратимость и т.д.

[мат-ламер]

Мне непонятно, что если существует обратный, то почему должно выполняться неравенство? Ведь обратный может быть неограниченным? (Если у исходного 0 - предельная точка спектра). Или я не так понял условие?

-- Чт июн 10, 2010 22:06:57 --

А, есть теорема Банаха об ограниченности обратного оператора.

[ewert]

Из ограниченности обратного тривиально следует то неравенство.

И обратно: из того неравенства следет ограниченность обратного.

А ноль как точка спектра -- тому неравенству явно противоречит. Хоть точечного спектра, хоть непрерывного.

[мат-ламер]

См. также Треногин. Параграф 12. Теорема 2. Оператор $A^{-1}$ существует и одновременно ограничен, тогда и только тогда, когда выполнятся ... типа неравенства из первого поста.

-- Чт июн 10, 2010 22:25:37 --

Да, но у Треногина из ограниченности обратного вытекает неравенство. У нас он только существует.

Цитата:

А ноль как точка спектра

Ну, у меня чуть по-другому.

-- Чт июн 10, 2010 22:32:35 --

А в условии в последней формуле $L$ - это множество линейных или линейных и ограниченных операторов? Если второе - то всё ясно.

[ewert]

Дело в том что тут все гильертово и соответственно существенно проще