2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ВТФ для нечетных n
Сообщение10.06.2010, 09:07 
Аватара пользователя


25/03/09
94
Привет, а можно я тоже чуть пофермачу? Случайно получилось, не могу найти ошибку. Для $n=3$:

Пусть $$x^3+y^3=z^3  \eqno (1)$$ где $x,y,z$ - взаимно простые натуральные числа. Разложив левую часть на множители$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=z^3$$ получаем, что $x+y\mid z^3$. Возьмем $p$, один из простых делителей числа $z$, т.е. запишем $z=p^aq,x+y=p^b s,$ где $p\nmid q,p\nmid s,a>0,s>0,q>0,p>1$ (все числа целые, естественно), выразим $y=p^b s-x$, и подставим в (1): $$x^3+y^3=(p^b s-x)^3+x^3=p^{3b}s^3-3p^{2b}s^2 x+3p^bs x^2-x^3+x^3=$$$$=p^{3b}s^3-3p^{2b}s^2 x+3p^bs x^2=p^{3a}q^3$$Откуда, из делимости на $p^{3a}$ и взаимной простоты $x$ и $z$ ($p\nmid x$), из последнего слагаемого (У остальных большая степень при $p$) получается $b=3a$, или, если $p=3$, может быть случай $b=3a-1$.
Перебрав все простые делители $z$, получаем, что $x+y=z^3$ или $x+y=\frac{z^3}3$. Откуда, $x+y=x^3+y^3$ или $x+y=\frac{x^3+y^3}3$, $x_{1,2}=0,1, y_{1,2}=0,1$ - ни одна комбинация не подходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для нечетных n
Сообщение10.06.2010, 10:48 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Хорошо заморочено, но, вроде, я нашёл ошибку:
covax в сообщении #329670 писал(а):
(У остальных большая степень при $p$)

Это неверно, если $b=0$. Так что, у $z$ вполне могут быть делители, вообще не входящие в разложение $x+y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для нечетных n
Сообщение10.06.2010, 11:53 


16/08/05
1146
covax в сообщении #329670 писал(а):
получаем, что $x+y\mid z^3$. Возьмем $p$, один из простых делителей числа $z$, т.е. запишем $z=p^aq,x+y=p^b s,$ где $p\nmid q,p\nmid s,a>0,s>0,q>0,p>1$

Должно быть как минимум $b\leqslant 3a$, чтобы выполнялась делимость $x+y\mid z^3$. Таким образом $b=3a$ - частный случай, и основная нагрузка решения ложится на $b<3a$, а в этом случае рассматривать по-отдельности делимость мономов полинома $p^{3b}s^3-3p^{2b}s^2 x+3p^bs x^2$ на $p^{3a}$ бесполезно, только всего полинома целиком. И получается тупик.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для нечетных n
Сообщение10.06.2010, 16:41 


22/02/09

285
Свердловская обл.
covax в сообщении #329670 писал(а):
т.е. запишем$z=p^aq,x+y=p^ds$

Запись неверна.Правильно будет так: $x+y=p^3$ -если $z$ не делится на 3 или
$x+y=\frac{p^3}3$ -если $z$ делится на 3. Больше вариантов нет,если только не принимать $p=p_1p_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для нечетных n
Сообщение10.06.2010, 17:57 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
migmit в сообщении #329719 писал(а):
Это неверно, если $b=0$. Так что, у $z$ вполне могут быть делители, вообще не входящие в разложение $x+y$.

Точнее, автор доказал, что такие делители обязаны быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для нечетных n
Сообщение10.06.2010, 19:25 
Аватара пользователя


25/03/09
94
migmit в сообщении #p329719 писал(а):
Это неверно, если $b=0$.
Да, вот оно, спасибо.
dmd в сообщении #329738 писал(а):
Должно быть как минимум $b\leqslant 3a$, чтобы выполнялась делимость $x+y\mid z^3$. Таким образом $b=3a$ - частный случай, и основная нагрузка решения ложится на $b<3a$, а в этом случае рассматривать по-отдельности делимость мономов полинома $p^{3b}s^3-3p^{2b}s^2 x+3p^bs x^2$ на $p^{3a}$ бесполезно, только всего полинома целиком. И получается тупик.
Я там криво написал что-то. Имел в виду это: $p^b(p^{2b}s^3-3p^bs^2x+3sx^2)=p^{3a}q^3$. Если $b\neq0$, то все получается, как я написал.

Всё, тему можно застрелить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group