Модулярная арифметика

[Farink]

Найти целочисленные решения уравнения: 5х+2у=3

[Padawan]

$y=\dfrac{3-5x}{2}=1-2x+\dfrac{1-x}{2}=1-2x+t$
Теперь надо решить $1-x=2t$

[Farink]

Padawan в сообщении #329849 писал(а):

$y=\dfrac{3-5x}{2}=1-2x+\dfrac{1-x}{2}=1-2x+t$
Теперь надо решить $1-x=2t$

Ого, как то слишком замудренно. У меня есть аналогичный, но разобраться в нём не могу:
24x+27y=6
8x+9y=2
(8;9)=1
2[три . по вертикали]1 целочисленное решение есть
8x=2-9y
(2-9y)[три . по вертикали] 8
2-9y[три - по вертикали] 0 (mod 8)
9y[три - по вертикали] 2 (mod 8)
-
2:..,2,10,18

2[три - по вертикали] 18 (mod 8)
9y[три - по вертикали] 18 (mod 8)
(9;8)=1
y[три - по вертикали] 2 (mod 8)
(y-2)[три . по вертикали] 8
y-2=8*g
y=2+8y
g принадлежит 2
8x=2-9*(2+8g)=-16-72g
x=-2-9g
g=2+g
g=0 , (-2;2)


Мог допустить ошибки.

[Mathusic]

Я бы с этим связываться не стал.
Пусть $(\alpha, \beta)$ - частное решение вашего уравнения, тогда все решения опишутся как
$\begin{cases} x=\alpha-bn, \\ y=\beta+an; \quad n \in\mathbb Z\end{cases}$

Осталось отыскать какое-нибудь решение...

[Padawan]

Farink в сообщении #329855 писал(а):

Padawan в сообщении #329849 писал(а):

$y=\dfrac{3-5x}{2}=1-2x+\dfrac{1-x}{2}=1-2x+t$
Теперь надо решить $1-x=2t$

Ого, как то слишком замудренно. У меня есть аналогичный, но разобраться в нём не могу:

$x=1-2t$, $y=1-2(1-2t)+t=-1+5t$, $t\in\mathbb Z$

[Farink]

Mathusic в сообщении #329861 писал(а):

Я бы с этим связываться не стал.
Пусть $(\alpha, \beta)$ - частное решение вашего уравнения, тогда все решения опишутся как
$\begin{cases} x=\alpha-bn, \\ y=\beta+an; \quad n \in\mathbb Z\end{cases}$

Осталось отыскать какое-нибудь решение...

Блин, я вообще не врубаюсь... Откуда, что взято, как это получилось, мне нужно именно по моему примеру потому, что нас по нему учили, но пример был всего один, а там разбирайся как хочешь называется. Вот откуда взялась цифра 1 здесь : (8;9)=1 ?

-- Чт июн 10, 2010 19:35:53 --

Padawan откуда взялась переменная t ?

[Mathusic]

Попытаюсь разжевать решение Padawan'а.
Имеем $y=\dfrac{3-5x}{2}=1-2x+\dfrac{1-x}{2}$
Отсюда $\dfrac{1-x}{2}$ необходимо целое, пускай $\dfrac{1-x}{2}=t \Rightarrow 1-x=2t$. Теперь выражаем $y$.

[Farink]

Mathusic в сообщении #329869 писал(а):

Попытаюсь разжевать решение Padawan'а.
Имеем $y=\dfrac{3-5x}{2}=1-2x+\dfrac{1-x}{2}$
Отсюда $\dfrac{1-x}{2}$ необходимо целое, пускай $\dfrac{1-x}{2}=t \Rightarrow 1-x=2t$. Теперь выражаем $y$.

Зачем его заменять переменной t ?

[Mathusic]

Очевидно, существует бесконечно много значений $x$ при которых эта дробь целая, поэтому нужно ввести какую-то новую переменную, через которую $x$ будет выражаться...

[Farink]

Mathusic в сообщении #329879 писал(а):

Очевидно, существует бесконечно много значений $x$ при которых эта дробь целая, поэтому нужно ввести какую-то новую переменную, через которую $x$ будет выражаться...

Какой же я тупой, мне этого не понять

[Leox]

Я б так решал - сначала находим общее решение однородного уравнения $ 5 x+2 y =0.$ Нетрудно сообразить что решения образуют одномерное пространство в $\mathbb{Z}^2$ c базисом $(2,-5).$ Теперь угадываем какое-нибудь частное решение, например $(1,-1).$ Сумма частного решения неоднородного уравния и общего решения однородного дают общее решение неднородного уравнения, т.е. $(x,y)=(1,-1)+C (2,-5),$ или в координатах $ x=1+2C, y=-1 -5 C.$

[Farink]

Leox в сообщении #329885 писал(а):

Я б так решал - сначала находим общее решение однородного уравнения $ 5 x+2 y =0.$ Нетрудно сообразить что решения образуют одномерное пространство в $\mathbb{Z}^2$ c базисом $(2,-5).$ Теперь угадываем какое-нибудь частное решение, например $(1,-1).$ Сумма частного решения неоднородного уравния и общего решения однородного дают общее решение неднородного уравнения, т.е. $(x,y)=(1,-1)+C (2,-5),$ или в координатах $ x=1+2C, y=-1 -5 C.$

Напишите пожалуйста решение по моему примеру!

[Leox]

Странно..ето и есть решение вашего примера

[Mathusic]

Farink в сообщении #329882 писал(а):

Какой же я тупой, мне этого не понять

(Оффтоп)

In mathematics you don't understand things. You just get used to them. (с) Джон Нейман