Решить в натуральных числах sigma(sigma(n))=2n

[Руст]

Найти натуральные "наполовину совершенные" числа, удовлетворяющие уравнению:
$\sigma(\sigma(n))=2n.$
Здесь под $\sigma(n)$ понимается сумма всех делителей числа .

[ИСН]

2, 4, 16, 64 и дальше понятно какая закономерность - степени двойки, у которых... не скажу что.
(а вот есть ли помимо этого класса, пока не вижу).

[juna]

Да, действительно легко показать, что $\sigma(\sigma(2^{k}))=2^{k+1}$, если $2^{{k}+1}-1$ - простое число.
$\sigma(2^{k})=2^0+2+2^3+...+2^{k}=\frac{2^{{k}+1}-1}{2-1}=2^{{k}+1}-1$ - простое число.
$\sigma(2^{{k}+1}-1)=2^{{k}+1}-1+1=2^{k+1}$
Если $2^{k+1}-1$ - простое число, то $k+1$ - простое число.
Пусть $\sigma(\sigma(p^a))=2p^a$, тогда $\sigma(p^a)=1+p+p^2+…+p^a$. Ясно, что $\sigma(\sigma(p^a))>= 2+p+p^2+…+p^a$, пусть $\sigma(1+p+p^2+…+p^a )= 2+p+p^2+…+p^a +b=2p^a$. После преобразований получаем, что должно выполняться уравнение $p^{a+1}-2p^a-p(b+1)+2+b=0$. Откуда ясно, что при $b=0$ имеем $(p-2)(p^a-1)=0$, т.е. $p=2$ или $b=\frac{(p-2)(p^a-1)}{(p-1)}$. Отсюда, если не ошибся в преобразованиях, должно выполняться $\sigma(\sigma(p^a))=1+\sigma(p^a)(p-1)-p^a(p-2)$.

[ИСН]

Сильно ли это приблизило нас к доказательству отсутствия других решений, помимо означенного класса?

[RIP]

Пусть $n=2^k m$, где $k\ge1,(m,2)=1.$
Имеем $\sigma(n)=\sigma(2^k)\sigma(m)=(2^{k+1}-1)\sigma(m).$
Теперь $\sigma(\sigma(n))\ge\sigma(2^{k+1}-1)\sigma(m)$ в силу очевидного $\sigma(ab)\ge\sigma(a)b.$
Наконец, $\sigma(2^{k+1}-1)\ge2^{k+1}$ и $\sigma(m)\ge m$, причем равенства возможны только для m=1 и простого $2^{k+1}-1$.
Это показывает, что других четных n не существует.
C нечетными буду думать.

[maxal]

Для нечетных $n$ вопрос открыт.
См. на MathWorld и статью Iterating the Sum-of-Divisors Function.

Несколько замечаний:

Пусть $n$ - нечетное число такое, что $\sigma(\sigma(n))=2n.$ Рассмотрим простое число Мерсенна $2^p - 1$ взаимно простое с $\sigma(n)$. Тогда

$$\sigma(\sigma(2^{p-1} n)) = \sigma((2^p - 1)\sigma(n)) = 2^p \sigma(\sigma(n)) = 2^{p+1} n.$$

Другими словами, $m=2^{p-1} n$ удовлетворяет уравнению $\sigma(\sigma(m))=4m.$

Число $m=\sigma(n)$ удовлетворяет уравнению $\sigma(\sigma(m))=3m.$

Так как в разложении числа $\sigma(\sigma(n))=2n$ всего лишь одна 2-ка, то число $\sigma(n)$ обязано быть произведением вида $2^d p^{4k+1} m^2,$ где $p=4t+1$ - простое, $(2p,m)=1.$ При этом $n = \frac{1}{2}\sigma(p^{4k+1} m^2) = (2^d - 1)\frac{p^{2k+1}-1}{p-1}\frac{p^{2k+1}+1}{2}\sigma(m^2).$ Кроме того, в указанной выше статье есть доказательство того, что $n$ обязано быть полным квадратом.