Изометрия банаховых пространств

[amarenzo]

Всем привет!
Конкретно подсел с доказательством такого почти очевидного факта. Есть оператор $ \mathbf{T}: \mathbf{X} \to \mathbf{X} $, где $ \mathbf{X} $ - банахово, над $ \mathbb{R} $. $ \mathbf{T}(0)=0, \mathbf{T} $ - изометрия. Доказать, что $ \mathbf{T} $ - линеен.
Собственно, основная сложность заключается в том, что не получается доказать следующий факт: середина отрезка отображается в середину, ибо дальше всё уже тривиально.
Никто не подкинет идеи?

[Someone]

amarenzo писал(а):

Всем привет!
Конкретно подсел с доказательством такого почти очевидного факта. Есть оператор $ \mathbf{T}: \mathbf{X} \to \mathbf{X} $, где $ \mathbf{X} $ - банахово, над $ \mathbb{R} $. $ \mathbf{T}(0)=0, \mathbf{T} $ - изометрия. Доказать, что $ \mathbf{T} $ - линеен.
Собственно, основная сложность заключается в том, что не получается доказать следующий факт: середина отрезка отображается в середину, ибо дальше всё уже тривиально.
Никто не подкинет идеи?

Хм... А это вообще верно? Я не знаю.

[Dan_Te]

По-моему, это неверно. Может, для гильбертовых только, надо подумать.

[amarenzo]

Это неверно для произвольных банаховых пространств (несовпадающих, т. е.

$$ \mathbf{T}: \mathbf{X} \to \mathbf{Y} $$

, ) - есть контрпример.
Для гильбертовых - почти очевидно, ибо там единственен элемент наилучшего приближения для сферы.
В данной же формулировке задача также должна решаться.

[Someone]

Dan_Te писал(а):

По-моему, это неверно. Может, для гильбертовых только, надо подумать.

Если задавший вопрос умеет доказывать линейность изометрии (а я сейчас что-то не соображу, как это делается), зная, что эта изометрия отображает середину отрезка в середину (и $\vec 0$ в $\vec 0$) , то для гильбертовых пространств над полем $\mathbb R$ это должно быть верно. Собственно говоря, нужно только проверить, что из равенств $\|\vec a\|=\|\vec b\|$ и $\|\vec a+\vec b\|=\|\vec a\|+\|\vec b\|$ следует, что $\vec a=\vec b$.
Получаем последовательность равенств

$$\|\vec a+\vec b\|=\|\vec a\|+\|\vec b\|$$

$$\|\vec a+\vec b\|^2=(\|\vec a\|+\|\vec b\|)^2$$

$$(\vec a+\vec b,\vec a+\vec b)=\|\vec a\|^2+2\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|+\|\vec b\|^2$$

$$(\vec a,\vec a)+2(\vec a,\vec b)+(\vec b,\vec b)=(\vec a,\vec a)+2\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|+(\vec b,\vec b)$$

$$2(\vec a,\vec b)=2\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|$$

$$(\vec a,\vec a)-2(\vec a,\vec b)+(\vec b,\vec b)=(\vec a,\vec a)-2\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|+(\vec b,\vec b)$$

$$(\vec a-\vec b,\vec a-\vec b)=\|\vec a\|^2-2\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|+\|\vec b\|^2$$

$$\|\vec a-\vec b\|^2=(\|\vec a\|-\|\vec b\|)^2=0$$

$$\|\vec a-\vec b\|=0$$

$$\vec a-\vec b=0$$

$$\vec a=\vec b$$

Но как бы это можно было сделать для банаховых пространств - не знаю.

[amarenzo]

Someone писал(а):

Если задавший вопрос умеет доказывать линейность изометрии (а я сейчас что-то не соображу, как это делается), зная, что эта изометрия отображает середину отрезка в середину (и $\vec 0$ в $\vec 0$) , то для гильбертовых пространств над полем $\mathbb R$ это должно быть верно.
...
Но как бы это можно было сделать для банаховых пространств - не знаю.

Спасибо за обстоятельный ответ, но, увы, скалярного произведения нам никто не даёт.
Зато есть полнота. Кроме того, в случае гильбертовости это было бы верно для произвольных пространств, а вот для банаховых это верно только для отображения в то же пространство (правда, напонятно, как это использовать).
Что же до линейности, то сначала доказывается однородность (можем делить отрезок не пополам, а в произвольном соотношении), а потом уже аддитивность (пользуемся фактом про середину и выносим 1/2 за оператор).

[Someone]

amarenzo писал(а):

Спасибо за обстоятельный ответ, но, увы, скалярного произведения нам никто не даёт.

Увы...

amarenzo писал(а):

Зато есть полнота. Кроме того, в случае гильбертовости это было бы верно для произвольных пространств, а вот для банаховых это верно только для отображения в то же пространство (правда, напонятно, как это использовать).

Точно верно? А какие банаховы пространства в контрпримере? Их же можно вложить в одно банахово пространство, и не одним способом. Изометрию там продолжить никак не удастся?